Konstrukcja siedemnastokąta foremnego
: 12 sty 2012, o 19:31
Konstrukcja 17 kąta foremnego
na okręgu jednostkowym:
Potrzebna do tego będzie liczba;
\(\displaystyle{ \zeta=\cos\frac{2\pi}{17}+i\sin\frac{2\pi}{17}}\)
Weźmy teraz przekształcenie :
\(\displaystyle{ \phi,}\) niech
\(\displaystyle{ \phi\left( \zeta\right)= \left(\zeta\right)^{3}}\)
oczywiście:
\(\displaystyle{ \left(\zeta\right)^{17}=1}\)
niech teraz:
\(\displaystyle{ u=\zeta+ \phi^{4}\left(\zeta\right)+\phi^{8}\left(\zeta\right)+\phi^{12}\left(\zeta\right)}\)
łatwo więc obliczyć teraz:
\(\displaystyle{ u, \phi\left(u\right), \phi^{2}\left(u\right),\phi^{3}\left(u\right)}\)
dosyć żmudne ale wykonalne i w wyniku otrzymamy:
(1) \(\displaystyle{ \begin{cases}u=\zeta+\zeta^{4}+\zeta^{13}+\zeta^{16}\\ \phi\left(u\right)=\zeta^{3}+\zeta^{12}+\zeta^{5}+\zeta^{14}\\ \phi^{2}\left(u\right)=\zeta^{2}+\zeta^{8}+\zeta^{9}+\zeta^{15} \\ \phi^{3}\left(u\right)=\zeta^{6}+\zeta^{7}+\zeta^{10}+\zeta^{11} \end{cases}}\)
Nasze ciało K , gdzie:
\(\displaystyle{ Q \subset K \subset Q\left(\zeta\right)}\)
[K]=4
jest generowane przez elementy u.., jest ono stałe względem podgrupy przekształceń H.
podgrupa grupy przekształceń to jest H.
\(\displaystyle{ H=\{id, \phi,\phi^{2},\phi^{3} \}}\)
\(\displaystyle{ \left[Q\left(\zeta_{17}\right):Q\right]=16}\)
Każde konstruowalne rozszerzenie danego ciała jest potęgą dwójki!
Grupa G o generatorze \(\displaystyle{ \phi}\) jest cykliczna. Jest to grupa automorfizmów przekształcających ciało \(\displaystyle{ Q\left(\zeta_{17}\right)}\)
w siebie.Q jest oczywiście ciałem stałym.
układ równań (1) możemy przepisać w inny sposób:
(2) \(\displaystyle{ \begin{cases}u=4\cos\left(\frac{5\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{3\pi}{17}\right)\\ \phi\left(u\right)=4\cos\left(\frac{9\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{13\pi}{17}\right)\\ \phi^{2}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{7\pi}{17}\right)=2\cos\frac{4\pi}{17}-2\cos\frac{\pi}{17}\\ \phi^{3}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi}{17}\right) \end{cases}}\)
Łatwo wykazać, że:
(*) \(\displaystyle{ \phi^{3}\left(u\right)<\phi^{2}\left(u\right)< 0<\phi\left(u\right)<u}\)
Biorąc po uwagę układ równań (2) utwórzmy wielomian:
\(\displaystyle{ w\left(x\right)=\left(x-u\right)\left(x-\phi\left(u\right)\right)\left(x-\phi^{2}\left(u\right)\right)\left(x-\phi^{3}\left(u\right)\right)}\)
po bardzo uciążliwych obliczeniach, których tu nie ma potrzeby zamieszczać otrzymujemy zgrabny wielomian:
\(\displaystyle{ w\left(x\right)=x^{4}+x^{3}-6x^{2}-x+1}\)
Jest to wielomian minimalny elementu u.Nierozkładalny w Q.
Wypiszmy teraz z (2) dwa równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \phi^{2}\left(u\right)=2\cos\frac{4\pi}{17}-2\cos\frac{\pi}{17}=-4\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{7\pi}{17}\right)\\ \phi^{3}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi}{17}\right) \end{cases}}\)
i popodstawiajmy:
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)=x,}\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{17}\right)=y,}\)
\(\displaystyle{ \phi^{2}\left(u\right)=a,}\)
\(\displaystyle{ \phi^{3}\left(u\right)=b}\)
otrzymamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-2y=a\\ -4xy=b \end{cases}}\)
lub inaczej jak wykluczymy jedną zmienną:
\(\displaystyle{ 4x^{2}-2ax+b=0}\)
Jest to minimalny wielomian rozkładu liczby: \(\displaystyle{ \cos \frac{4\pi}{17}}\)
nad ciałem K[a,b].
Jasnym jest , że rozwiązaniami między innymi wielomianu w(x) są między innymi:a oraz b
Obliczenia pierwiastków równania czwartego stopnia są bardzo żmudne i niewiele wnoszą pozwolę sobie wypisać same pierwiastki wyliczone już:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=x_{1}=-\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\\ x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\\ a= x_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\ x_{4}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\ \end{cases}}\)
Z łatwych porównań widać, że:
\(\displaystyle{ x_{1}<x_{3}<0<x_{2}<x_{4}}\)
Z ostatnich nierwności jak i z (*) widać że xi to tylko permutacja pierwiastków w(x)
otrzymujemy więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u=x_{4} \\ \phi\left(u\right)=x_{2} \\ \phi^{2}\left(u\right)=x_{3}=a \\ \phi^{3}\left(u\right)=x_{1}=b \\ \end{cases}}\)
Rozwiążemy teraz nasz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-2y=a\\ -4xy=b \end{cases}}\)
po wyliczeniu x1, x2 okazuje się że \(\displaystyle{ x_1 < 0}\), ale wiemy że: \(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}>0}\)
czyli interesujące nas rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)=\frac{a+\sqrt{a^{2}-4b}}{4}}\)
Pamiętając ile wynosi ai b.
Po bardzo żmudnych obliczeniach otrzymujemy wreszcie nasz cosinus, upraszczamy do maximum nasze pierwiastki,
między innymi korzystam (jako ciekawostka do udowodnienia) z takich tożsamości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{17}\sqrt{34+2\sqrt{17}}=\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\ \sqrt{17}\sqrt{34-2\sqrt{17}}=4\sqrt{34+2\sqrt{17}}-\sqrt{34-2\sqrt{17}} \end{cases}}\)
i ostatecznie nasz kąt a właściwie jego cosinus ma postać:
\(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}=\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{16}+\frac{\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{8}}\)
Oczywiste, że mając \(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}}\) mamy również kąt: \(\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{17}}\)
jak i również:
\(\displaystyle{ \sin\frac{2\pi}{17}}\)
a więc ten o który nam chodziło.
To tak w skrócie.
W 1898 roku przez Schwendenheima i Richelota został skonstruowany 257 - kąt foremny.
Natomiast konstrukcją 65537 - kąta zajmował się O. Hermes poświęcił jej 10 lat życia. Książka poświęcona tej konstrukcji znajduje się w Getyndze.
Jako ciekawostkę podam, że jakbym absolutnie wszystkie obliczenia tu umieścił, które wykonałem
to zajęłoby sporo więcej na kartkach to zajęło mi to cały zeszyt 32 kartkowy.
Mam jeszcze inną konstrukcję 17 kąta foremnego bardziej "konstrukcyjną" z rysunkiem,
ale obliczenie kąta (wynik) jest identyczny jak w powyższym rozumowaniu
na okręgu jednostkowym:
Potrzebna do tego będzie liczba;
\(\displaystyle{ \zeta=\cos\frac{2\pi}{17}+i\sin\frac{2\pi}{17}}\)
Weźmy teraz przekształcenie :
\(\displaystyle{ \phi,}\) niech
\(\displaystyle{ \phi\left( \zeta\right)= \left(\zeta\right)^{3}}\)
oczywiście:
\(\displaystyle{ \left(\zeta\right)^{17}=1}\)
niech teraz:
\(\displaystyle{ u=\zeta+ \phi^{4}\left(\zeta\right)+\phi^{8}\left(\zeta\right)+\phi^{12}\left(\zeta\right)}\)
łatwo więc obliczyć teraz:
\(\displaystyle{ u, \phi\left(u\right), \phi^{2}\left(u\right),\phi^{3}\left(u\right)}\)
dosyć żmudne ale wykonalne i w wyniku otrzymamy:
(1) \(\displaystyle{ \begin{cases}u=\zeta+\zeta^{4}+\zeta^{13}+\zeta^{16}\\ \phi\left(u\right)=\zeta^{3}+\zeta^{12}+\zeta^{5}+\zeta^{14}\\ \phi^{2}\left(u\right)=\zeta^{2}+\zeta^{8}+\zeta^{9}+\zeta^{15} \\ \phi^{3}\left(u\right)=\zeta^{6}+\zeta^{7}+\zeta^{10}+\zeta^{11} \end{cases}}\)
Nasze ciało K , gdzie:
\(\displaystyle{ Q \subset K \subset Q\left(\zeta\right)}\)
[K]=4
jest generowane przez elementy u.., jest ono stałe względem podgrupy przekształceń H.
podgrupa grupy przekształceń to jest H.
\(\displaystyle{ H=\{id, \phi,\phi^{2},\phi^{3} \}}\)
\(\displaystyle{ \left[Q\left(\zeta_{17}\right):Q\right]=16}\)
Każde konstruowalne rozszerzenie danego ciała jest potęgą dwójki!
Grupa G o generatorze \(\displaystyle{ \phi}\) jest cykliczna. Jest to grupa automorfizmów przekształcających ciało \(\displaystyle{ Q\left(\zeta_{17}\right)}\)
w siebie.Q jest oczywiście ciałem stałym.
układ równań (1) możemy przepisać w inny sposób:
(2) \(\displaystyle{ \begin{cases}u=4\cos\left(\frac{5\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{3\pi}{17}\right)\\ \phi\left(u\right)=4\cos\left(\frac{9\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{13\pi}{17}\right)\\ \phi^{2}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{7\pi}{17}\right)=2\cos\frac{4\pi}{17}-2\cos\frac{\pi}{17}\\ \phi^{3}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi}{17}\right) \end{cases}}\)
Łatwo wykazać, że:
(*) \(\displaystyle{ \phi^{3}\left(u\right)<\phi^{2}\left(u\right)< 0<\phi\left(u\right)<u}\)
Biorąc po uwagę układ równań (2) utwórzmy wielomian:
\(\displaystyle{ w\left(x\right)=\left(x-u\right)\left(x-\phi\left(u\right)\right)\left(x-\phi^{2}\left(u\right)\right)\left(x-\phi^{3}\left(u\right)\right)}\)
po bardzo uciążliwych obliczeniach, których tu nie ma potrzeby zamieszczać otrzymujemy zgrabny wielomian:
\(\displaystyle{ w\left(x\right)=x^{4}+x^{3}-6x^{2}-x+1}\)
Jest to wielomian minimalny elementu u.Nierozkładalny w Q.
Wypiszmy teraz z (2) dwa równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \phi^{2}\left(u\right)=2\cos\frac{4\pi}{17}-2\cos\frac{\pi}{17}=-4\cos\left(\frac{6\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{7\pi}{17}\right)\\ \phi^{3}\left(u\right)=-4\cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)\cdot \cos \left(\frac{\pi}{17}\right) \end{cases}}\)
i popodstawiajmy:
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)=x,}\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{17}\right)=y,}\)
\(\displaystyle{ \phi^{2}\left(u\right)=a,}\)
\(\displaystyle{ \phi^{3}\left(u\right)=b}\)
otrzymamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-2y=a\\ -4xy=b \end{cases}}\)
lub inaczej jak wykluczymy jedną zmienną:
\(\displaystyle{ 4x^{2}-2ax+b=0}\)
Jest to minimalny wielomian rozkładu liczby: \(\displaystyle{ \cos \frac{4\pi}{17}}\)
nad ciałem K[a,b].
Jasnym jest , że rozwiązaniami między innymi wielomianu w(x) są między innymi:a oraz b
Obliczenia pierwiastków równania czwartego stopnia są bardzo żmudne i niewiele wnoszą pozwolę sobie wypisać same pierwiastki wyliczone już:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=x_{1}=-\frac{1+\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\\ x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}\\ a= x_{3}=\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\ x_{4}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}\\ \end{cases}}\)
Z łatwych porównań widać, że:
\(\displaystyle{ x_{1}<x_{3}<0<x_{2}<x_{4}}\)
Z ostatnich nierwności jak i z (*) widać że xi to tylko permutacja pierwiastków w(x)
otrzymujemy więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u=x_{4} \\ \phi\left(u\right)=x_{2} \\ \phi^{2}\left(u\right)=x_{3}=a \\ \phi^{3}\left(u\right)=x_{1}=b \\ \end{cases}}\)
Rozwiążemy teraz nasz układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-2y=a\\ -4xy=b \end{cases}}\)
po wyliczeniu x1, x2 okazuje się że \(\displaystyle{ x_1 < 0}\), ale wiemy że: \(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}>0}\)
czyli interesujące nas rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{4\pi}{17}\right)=\frac{a+\sqrt{a^{2}-4b}}{4}}\)
Pamiętając ile wynosi ai b.
Po bardzo żmudnych obliczeniach otrzymujemy wreszcie nasz cosinus, upraszczamy do maximum nasze pierwiastki,
między innymi korzystam (jako ciekawostka do udowodnienia) z takich tożsamości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{17}\sqrt{34+2\sqrt{17}}=\sqrt{34+2\sqrt{17}}+4\sqrt{34-2\sqrt{17}} \\ \sqrt{17}\sqrt{34-2\sqrt{17}}=4\sqrt{34+2\sqrt{17}}-\sqrt{34-2\sqrt{17}} \end{cases}}\)
i ostatecznie nasz kąt a właściwie jego cosinus ma postać:
\(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}=\frac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{16}+\frac{\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{8}}\)
Oczywiste, że mając \(\displaystyle{ \cos\frac{4\pi}{17}}\) mamy również kąt: \(\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{17}}\)
jak i również:
\(\displaystyle{ \sin\frac{2\pi}{17}}\)
a więc ten o który nam chodziło.
To tak w skrócie.
W 1898 roku przez Schwendenheima i Richelota został skonstruowany 257 - kąt foremny.
Natomiast konstrukcją 65537 - kąta zajmował się O. Hermes poświęcił jej 10 lat życia. Książka poświęcona tej konstrukcji znajduje się w Getyndze.
Jako ciekawostkę podam, że jakbym absolutnie wszystkie obliczenia tu umieścił, które wykonałem
to zajęłoby sporo więcej na kartkach to zajęło mi to cały zeszyt 32 kartkowy.
Mam jeszcze inną konstrukcję 17 kąta foremnego bardziej "konstrukcyjną" z rysunkiem,
ale obliczenie kąta (wynik) jest identyczny jak w powyższym rozumowaniu