Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ (a^{2} +x^{2} )^{ \frac{3}{2} } }}\)

z góry, ddzięki

Spróbuj pierwszego podstawienia Eulera.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ (a^{2} +x^{2} )^{ \frac{3}{2} } }=\int \frac{dx}{ (a^{2} +x^{2} )*\sqrt{a^{2} +x^{2} } } }\\\\
\frac{1}{a^{2} +x^{2} }=t\\
\\
\frac{1}{t}=a^{2} +x^{2} \\
\frac{-dt}{t^2}=2xdx\\
x=\sqrt{\frac{1}{t}-a^2}\\
dx=\frac{-dt}{2*\sqrt{\frac{1}{t}-a^2}*t^2}\\\\
\int_{}^{} \frac{dx}{ (a^{2} +x^{2} )^{ \frac{3}{2} } }=\int \frac{dx}{ (a^{2} +x^{2} )*\sqrt{a^{2} +x^{2} } } }=\\
\int \frac{\frac{-dt}{2*\sqrt{\frac{1}{t}-a^2}*t^2}}{\frac{1}{t}*\sqrt{\frac{1}{t}}}=-\int \frac{t\sqrt{t}dt}{2\sqrt{t-t^2a^2}*t}=-\int \frac{dt}{2\sqrt{1-ta^2}}}\)
jeśli nie widzisz błędu to to powinno być dobrze

dzięki za zainteresowanie

ale potem w tej całce co Tobie wyszła podstawiam \(\displaystyle{ u=1-t a^{2}}\) i licze już całość i nie wychodzi tak jak ma być ;/ odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{x}{a^{2}* \sqrt{a^{2}+x^{2} } }}\)

przy tym podstawieniu jak pisałeś wychodzi dobrze
gdzieś musiał być błąd u Ciebie

ok, zaraz to ogarnę, bóg zapłać dobry człowieku ; D

a mógłbyś napisać rozwiązanie tej całki do końca? Niestety nie mam pojęcia jak to dalej rozwiązać i powrócić na stare zmienne...

Przez czesci tez powinno wyjsc

\(\displaystyle{ = \frac{1}{a^2} \int{ \frac{a^2}{\left( a^2+x^2\right) \sqrt{a^2+x^2} } \mbox{d}x }\\
=\frac{1}{a^2}\left( \int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{a^2+x^2} } }-\int{ \frac{x^2}{\left( a^2+x^2\right) \sqrt{a^2-x^2} } }\right)}\)