Matematyka.pl

Witam, Mam takie zadanko:

a) obliczyc
\(\displaystyle{ \phi (x)= \int_{- \infty }^{x} f(t)dt}\)

jesli \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x^3 e^{-x^2} \ \ \ \ \ dla \ \ x \le 0\\ \frac{sin2x}{ \sqrt{cos^2x+2cosx+2 }} \ \ \ \ \ \ dla \ x > 0 \end{cases}}\)

b) obliczyc \(\displaystyle{ \phi'(x)}\) tam gdzie istnieje

w a) wystarczy tylko scalkowac i odpowiednie granice dac tak ?
w b nie jestem pewien jak mam to zrobic. czy ma to po prostu byc

jesli \(\displaystyle{ \phi'(x)= \begin{cases} x^3 e^{-x^2} \ \ \ \ \ dla \ \ x \ < 0\\ \left[ x^3 e^{-x^2} \right]^0 _{- \infty} +\frac{sin2x}{ \sqrt{cos^2x+2cosx+2 }} \ \ \ \ \ \ dla \ x > 0 \end{cases}}\)

i sprawdzic czy istnieje pochodna w x=0 ?

Znasz twierdzenie o całce jako funkcji górnej granicy całkowania?

tak. pytam tylko czy dobrze jest schemat rozwiazania 2 czesci

hm... tak teraz patrze na wlasciwosci tej calka jako funkcja gornej granicy calkowania... tak wystarczy tylko sprawdzic czy funkcja f jest ciagla w x=0 co juz implikuje rozniczkowalnosc \(\displaystyle{ \phi (x)}\)w tym punkcie ?

no i jeszcze chyba blad zrobilem z wyrazem \(\displaystyle{ ( \left[ x^3 e^{-x^2} \right]^0 _{- \infty} )}\) bo to chyba w sumie musze jeszcze zrozniczkowac i wyjdzie ze to jest pochodna ze stalej czyli 0.