Matematyka.pl

Mam taką oto nierówność, gdzie a jest parametrem:

\(\displaystyle{ \log _{a}(x^{2}+1)>1}\)

no to rozpatruję dwa przypadki \(\displaystyle{ 1. a \in (0,1)\ \ 2. a \in (1, \infty)}\)

w pierwszym przypadku wyszło mi \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2}, \frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2} \right)}\)

a w drugim \(\displaystyle{ x \in \left( -\infty,\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2} \right) \cup \left( \frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2},\infty \right)}\)

ale jakoś nie jestem przekonana do tego rozwiązania

przedziały słuszne. Ale jak doszedłeś do takich paskudnych wyników? Tu nie ma potrzeby liczenia delty....

Masz rację. (choć gdyby wynik był inny to przedziały byłyby słuszne...)
\(\displaystyle{ \log_{a}(x^{2}+1)=1}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+1=a}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{a-1}}\).Czyli wychodzi na to,że równość w wypadku a>1 daje powyższe rozwiązanie,a jeśli nie to równość nie ma rozwiązania,bo a-1<0 i pierwiastek w rzeczywistych nie istnieje.
Zauważmy więc,że jeśli \(\displaystyle{ a \in (0;1)}\) to ze względu,że \(\displaystyle{ 1+x^{2} \ge 1}\) wynika,że nierówność nie jest spełniona przez żadną liczbę, bo jeżeli podstawa jest mniejsza od 1 ,a liczba logarytmowana jest nie mniejsza,to oznacza,że wynik jest niedodatni,a to przeczy nierówności...