Matematyka.pl

Witam. to mój pierwszy post więc proszę o wyrozumiałość
Mam kilka zadań, w których przydała by mi się pomoc, są z kilku działów ale umieściłem je w jednym poście żeby nie szukać ich po całym forum

Zadanie 1.Iloczyn Kartezjański - proszę o sprawdzenie
Wyznaczyć zbiór \(\displaystyle{ G \cup H, G \cap H, G \setminus H, H \setminus G}\), jeżeli \(\displaystyle{ G=A \times B}\) i \(\displaystyle{ H=C \times D}\) oraz

\(\displaystyle{ A=\{1,2,3,4\}, B=\{1,2,4,2\}, C=\{1,3,6,1\}, D=\{1,4,6,8\}}\)

\(\displaystyle{ G = A \times B = \\
=\{(1,1),(1,2),(1,4),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(2,2),(3,1),(3,2),(3,4),(3,2),(4,1),(4,2),(4,4),(4,2)\}}\)

\(\displaystyle{ H = C \times D = \\
=\{(1,1),(1,4),(1,6),(1,8),(3,1),(3,4),(3,6),(3,8),(6,1),(6,4),(6,6),(6,8),(1,1),(1,4),(1,6),(1,8)\}}\)

\(\displaystyle{ G \cap H = \{(1,1),(1,4),(3,1),(3,4)\}}\)

\(\displaystyle{ G \cup H = \{(1,1),(1,2),(1,4),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(2,2),(3,1),(3,2),(3,4),(3,2),\\
(4,1),(4,2),(4,4),(4,2),(1,6),(1,8),(3,6),(3,8),(6,1),(6,4),(6,6),(6,8)\}}\)

\(\displaystyle{ G \setminus H = \{(1,2),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(2,2),(3,2),(3,2),(4,1),(4,2),(4,4),(4,2)\}}\)

\(\displaystyle{ H \setminus G = \{(1,6),(1,8),(3,6),(3,8),(6,1),(6,4),(6,6),(6,8),(1,6),(1,8)\}}\)

Zadanie 2. Relacje Binarne - prosze o sprawdzenie
W zbiorze \(\displaystyle{ X \times Y}\) dana jest relacja \(\displaystyle{ R}\). Wyznaczyć wszystkie elementy należące do tej relacji. Sprawdź czy relacja ta jest zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia. Czy jest relacją równoważności.

\(\displaystyle{ X=\{1,2,5\}, Y=\{12,13,14,15\}, R=\{(x,y): x|y\}\\
R=\{(1,12),(1,13),(1,14),(1,15),(2,12),(2,14),(5,15)\}}\)

- relacja nie jest zwrotna;
- relacja jest przeciwzwrotna;
- relacja nie jest symetryczna;
- relacja jest przeciwsymetryczna;
- relacja nie jest przechodnia;
- nie jest relacją równoważności;

Zadanie 3. Grafy - tu prosiłbym o jak najdokładniejszą podpowiedz gdyż nie mam kompletnie pojęcia o tym jak narysować ten graf
Sporządz rysunek grafu skierowanego \(\displaystyle{ G}\), w którym zbiór wierzchołków \(\displaystyle{ V(G) = \{ w,x,y,z\}}\), zbiór krawędzi \(\displaystyle{ E(G) = \{a,b,c,d,e,f,g\}}\) , a funkcja \(\displaystyle{ \gamma}\) podana jest w tabeli :
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|ccccccc} e & a & b & c & d & e & f & g \\ \hline \gamma (e) & (x,w) & (w,x) & (x,x) & (w,z) & (w,y) & (w,z) & (z,y) \\ \hline \end{tabular}}\)

Wskaż w tym grafie cykl. Jaka jest najkrótsza droga z wierzchołka \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ y}\). Jaka jest długość tej drogi. Czy istnieje tylko jedna taka droga? Napisz macierz sąsiedztwa dla tej relacji. Czy para \(\displaystyle{ (z,x)}\) jest w relacji osiągalności.

Zadanie 4. Relacje porządkujące - proszę o sprawdzenie
W zbiorze \(\displaystyle{ X}\) dana jest relacja \(\displaystyle{ R}\). Zbadać, czy ta relacja jest:
1) relacja porządku,
2) relacją liniowego porządku,
3) relacją dobrego porządku.
W przypadku gdy jest to relacja porządku, wyznaczyć elementy: maksymalny, minimalny, największy, najmniejszy, ograniczenia górne, ograniczenia dolne, kres górny, kres dolny (o ile takie istnieją).

a) \(\displaystyle{ X=\{2^{n}: n \in \mathbb N\}}\) zaś \(\displaystyle{ R=\{(x,y): x|y\}}\)
jest relacją porządku;
jest relacją liniowego porządku;
jest relacją dobrego porządku;
element maksymalny i najwiekszy nie istnieją
elementem minimalnym i najmiejszym jest liczba \(\displaystyle{ 2}\);

1. Usuń ze zbiorów powtarzające się elementy
2.Dobrze
3. Zapis:\(\displaystyle{ e=a \wedge \phi(e)=(x,w)}\) oznacza,że krawędź oznaczysz literką \(\displaystyle{ a}\)
jeśli połączysz wierzchołek \(\displaystyle{ x}\)z wierzchołkiem\(\displaystyle{ w}\) tak,że strzałka pokazująca kierunek pokazuje na \(\displaystyle{ w}\).
Macierz sąsiedztwa mówi,że jeśli \(\displaystyle{ (xRy \Leftrightarrow}\) istnieje krawędź łącząca te dwa wierzchołki) zachodzi dajesz 1 jeśli nie 0
Relacja osiągalności \(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow}\) istnieje ciąg krawędzi który z x doproadzi na y
Cykl-podgraf realizujący relację osiągalności dla pary \(\displaystyle{ (x,x)}\)

dlaczego w zadaniu 2. nie jest zwrotna ?
przecież każdy element sam ze sobą jest zwrotny ;/
chyba inaczej się patrzy na zwrotność jeśli elementy pochodzą z dwóch różnych zbiorów?

dosiu pisze:chyba inaczej się patrzy na zwrotność jeśli elementy pochodzą z dwóch różnych zbiorów?

Dla mnie rozpatrywanie zwrotności w takim przypadku nie ma sensu, choć na siłę można sobie wyobrazić, jak taka definicja mogłaby wyglądać dla różnych zbiorów. Podobną uwagę mam do innych własności relacji.

JK

tzn że jeśli elementy pochodzą z dwóch różnych zbiorów (np. \(\displaystyle{ X=\{1,2,3\}, Y=\{a,b,c\}, R(x,y) \Leftrightarrow x=y}\)) a pytają mnie czy relacja jest zwrotna to odpowiedzią poprawną jest że nie ?

Pytanie jest źle postawione. Po pierwsze nie wiadomo, czym są \(\displaystyle{ a,b,c}\). Po drugie, nie wiem, co miałaby zwrotność oznaczać dla relacji pomiędzy elementami różnych zbiorów. Dla mnie definiowanie tej własności w tej sytuacji nie ma sensu, więc z mojego punktu widzenia pytanie jest źle postawione.

Ale jeżeli pokażesz mi definicję takiej "zwrotności", to Ci odpowiem.

JK

no nie znam takowej więc zostawię już ten temat. Rozumiem, że odpowiedzi podane przez Racannon w zadaniu 2 są poprawne ?

dosiu pisze:Rozumiem, że odpowiedzi podane przez Racannon w zadaniu 2 są poprawne ?

Jan Kraszewski pisze:Po drugie, nie wiem, co miałaby zwrotność oznaczać dla relacji pomiędzy elementami różnych zbiorów. Dla mnie definiowanie tej własności w tej sytuacji nie ma sensu, więc z mojego punktu widzenia pytanie jest źle postawione.

A skąd ja mam wiedzieć, jak nie znam definicji tych własności w tej sytuacji?

JK

to uważasz, że w zadaniu 2 zbiory X i Y są podane tylko po to żeby sprawdzić czy rozumiem na czym polega relacja, a cechy relacji już powinienem sprawdzać na całej przestrzeni ?

bo wtedy mi wychodzą odpowiedzi:
- relacja jest zwrotna;
- relacja nie jest przeciwzwrotna;
- relacja nie jest symetryczna;
- relacja jest przeciwsymetryczna;
- relacja jest przechodnia;
- jest relacją równoważności;

dosiu pisze:to uważasz, że w zadaniu 2 zbiory X i Y są podane tylko po to żeby sprawdzić czy rozumiem na czym polega relacja,

Nic nie uważam. Skoro wg mnie zadanie jest bez sensu, to jak przypuszczać, do czego ma służyć?

dosiu pisze:a cechy relacji już powinienem sprawdzać na całej przestrzeni ?

Na jakiej "całej przestrzeni"?

JK

Relacja to jest podzbiór płaszczyzny kartezjańskiej ,a nasz podzbiór
\(\displaystyle{ A \times B \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N}}\) to ten wypisany przez koleżankę wówczas w języku nasze własności można zapisać w postaci
ZWROTNOŚĆ
\(\displaystyle{ (x,x) \in A \times B}\)
SYMETRIA
\(\displaystyle{ (x,y) \in A \times B \Rightarrow (y,x) \in A \times B}\)

Opisujesz inną sytuację. I zapominasz o kwantyfikatorach.

JK

Ja tak rozumiem to zadanie.

Każdy może na swój sposób rozumieć to zadanie, co oznacza, że jest to złe zadanie.

JK