Matematyka.pl

Rozwiąż:

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{\frac{(2i-1)(1-3i)}{(1-2i)(2+2i)} - 2i}}\)

Ja wymnożyłam najpierw to co pod pierwiastkiem (zignorowałam narazie sam pierwiastek), wyszło mi: \(\displaystyle{ \frac{5+5i}{6-2i}- 2i}\), doprowadziłam do wspólnego mianownika: \(\displaystyle{ \frac{1-7i}{6-2i}}\) i wymnożyłam przez zespolenie,wyszło: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} - i}\)
I w tym momencie chciałam doprowadzić do postaci trygonometrycznej ale modłuł wychodzi mi: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{5}}{2}}\) i wydaje mi się, że coś jest nie tak

Nie sprawdzałem rachunków wcześniejszych, ale to, że wyszła ci liczba \(\displaystyle{ \frac12-i}\) "nieładna" do zapisania w postaci trygonometrycznej nie oznacza, że nie da się obliczyć pierwiastków z tej liczby .
Szukamy mianowicie liczby \(\displaystyle{ a+bi}\) takiej, że
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=\frac12-i}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2+2abi=\frac12-i}\)
Porównujemy części rzeczywiste i urojone i dostajemy układ równań
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c}
a^2-b^2=\frac12\\ 2ab=-1\end{array}\right.}\)
Ten układ zawsze daje się rozwiązać, np. z drugiego \(\displaystyle{ b=-\frac{1}{2a}}\), wstawiamy do pierwszego i dostajemy
\(\displaystyle{ a^2-\frac{1}{4a^2}=-1}\)
Jak wymnożymy przez \(\displaystyle{ 4a^2}\) to dostaniemy równanie dwukwadratowe, podstawiamy \(\displaystyle{ a^2=t}\) i mamy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ 4t^2+4t-1=0}\)
które zawsze ma rozwiązanie, stąd wyliczamy \(\displaystyle{ t}\), bierzemy to dodatnie, wtedy mamy dwie wartości dla \(\displaystyle{ a}\) (dodatnią i ujemną) i dla nich dwie wartości dla \(\displaystyle{ b}\).
Łącznie daje to nam dwa pierwiastki.

Moduł jest poprawnie policzony, wynosi tylko \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{\sqrt{5}}{2} }}\)

Czemu \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ \sqrt{5} }{2} }}\) ??!!

Moduł jest dobrze, powinno wyjść \(\displaystyle{ \sqrt{\frac54}=\frac{\sqrt{5}}{2}}\) tyle, że to nic nie zmienia, dalej z postaci trygonometrycznej się nie da (jakby się baaardzo uparł to by się dało, tylko po co), trzeba mniej więcej tak jak wyżej.

Dobrze, rozumiem tamtą metodą ale to jest pierwiastek 6 stopnia!! Więc potrzebuje 6 rozwiązań...

Teraz dopiero jak sobie przeglądałem to zobaczyłem tę 6 w pierwiastku...ha