Matematyka.pl

Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), dla których równanie \(\displaystyle{ p ^{2} – p – 4\sin x = 2}\) ma rozwiązanie należące do przedziału \(\displaystyle{ ( \frac{ \pi }{6} ; \frac{7 \pi }{6} ) .}\)

Przekształćmy to równanie
\(\displaystyle{ p^2–p–4\sin x=2}\)
\(\displaystyle{ p^2-p-2=4\sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin x=\frac14p^2-\frac14p-\frac12}\)
Gdy \(\displaystyle{ x\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right)}\) to \(\displaystyle{ \sin x\in\left(-\frac12,1\right]}\).
Zadanie zatem sprowadza się do rozwiązania podwójnej nierówności kwadratowej
\(\displaystyle{ -\frac12<\frac14p^2-\frac14p-\frac12\le1}\)