Matematyka.pl

Mamy funkcję \(\displaystyle{ g(x) = x \sqrt{2+x}}\) dla \(\displaystyle{ x \geqslant -2}\) oraz równą \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x<-2}\).

Ponad to zadana jest miara na prostej w następujący sposób: poza \(\displaystyle{ [-1,3]}\) jest to miara zerowa, na przedziale \(\displaystyle{ [0,2]}\) jest to miara Lebesgue'a z gęstością \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{2-x}}\), dodatkowo miara ta ma atomy w punktach \(\displaystyle{ -1,1,3}\), każdy o masie \(\displaystyle{ 1/2}\).

Obliczyć całkę z funkcji \(\displaystyle{ g}\).

Chciałbym prosić o wyjaśnienie rozwiązania krok po kroku.

Pozdrawiam.

Coś tu nie gra bo z Twojego opisu wynika, że w 1 miara ta ma atom, ale na \(\displaystyle{ [0,2]}\) jest bezatomowa. Zgaduję, że to błąd - umówmy się, że miara ma atomy jedynie w \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\).

Niech \(\displaystyle{ \mu}\) oznacza Twoją miarę. Skoro \(\displaystyle{ g(x) = 0}\) dla \(\displaystyle{ x<-2}\), to

\(\displaystyle{ \smallint_{\mathbb R} g\, {\rm d}\mu = \smallint_{[-2,\infty)} g\, {\rm d}\mu}\).

Skoro miara zeruje poza \(\displaystyle{ [-1,3]}\) mamy

\(\displaystyle{ \smallint_{[-2,\infty)} g\, {\rm d}\mu = \smallint_{[-1,3]} g\, {\rm d}\mu.}\)

Ostatecznie mamy do policzenia

\(\displaystyle{ \tfrac{1}{2}g(-1) + \frac{1}{2} g(3)+ \smallint_{0}^2 x\sqrt{2+x}\sqrt{2-x}\, {\rm d}x = \tfrac{1}{2}(-1+3\sqrt{5}) + \smallint_{0}^2 x\sqrt{4-x^2}\, {\rm d}x = \ldots = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\sqrt{5}+\sqrt{3} .}\)