rekurencja - czynnik sumacyjny

[niks]

Błagam o szczegółowe rozwiązanie krok po kroku
Przy pomocy czynnika sumacyjnego rozwiązać rekurencję:

\(\displaystyle{ \begin{cases} T _{0} = 4\\ \frac{1}{2} \cdot T_{n} = n \cdot T_{n-1} + \frac{1}{2} \cdot n! , n \ge 1 \end{cases}}\)

[abc666]

A jakiekolwiek próby rozwiązania? Zobacz tutaj i powiedz z czym masz problem.

[niks]

Wiem że
\(\displaystyle{ a _{n} = \frac{1}{2}, b_{n} = n, c_{n} = \frac{1}{2} \cdot n!}\)
teraz trzeba podobno podzielić początkowe równanie przez \(\displaystyle{ s_{n}}\)
(nie wiem dlaczego). Na tym się zatrzymałam po prostu

[abc666]

(nie wiem dlaczego)

Bo na tym polega ta metoda Po podzieleniu wyjdzie nam prostsza do rozwiązania rekurencja. Jak to będzie wyglądać po podzieleniu? Albo chociaż jak wygląda \(\displaystyle{ s_{n}}\)?

[niks]

\(\displaystyle{ s_{n} = \frac{ s_{n-1} \cdot a_{n-1} }{ b_{n} }}\), co dalej zrobić z tym wzorem?
rozumiem że \(\displaystyle{ a _{n} \cdot t _{n} = b _{n} \cdot t_{n-1} + c _{n}}\) dzielimy obustronnie przez sn, tylko co to daje?

[abc666]

W podanym wyżej linku jest "rozwinięta" wersja wzoru na \(\displaystyle{ s_{n}}\). Ciężko dowiedzieć się co ci da pomnożenie jeśli tego nie zrobisz. Nie dzielisz obustronnie tylko mnożysz.

\(\displaystyle{ s_{n}=\frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}}{n!}}\)

[niks]

\(\displaystyle{ s_{n}=\frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}}{n!}}\)
No ale skąd się to wzięło w ogóle?

[abc666]

\(\displaystyle{ s_{n} = \frac{ s_{n-1} \cdot a_{n-1} }{ b_{n} }}\), co dalej zrobić z tym wzorem?

Jeśli go rozwiniemy:

\(\displaystyle{ s_{n} = \frac{ s_{n-1} \cdot a_{n-1} }{ b_{n} }=\frac{ s_{n-2}\cdot a_{n-2}\cdot a_{n-1} }{ b_{n-1}\cdot b_{n} }=...}\)
otrzymamy to co podane jest pod linkiem
\(\displaystyle{ s_{n}=\frac{a_{n-1}\cdot a_{n-1}\cdot ...\cdot a_{1} }{b_{n}\cdot b_{n-1}\cdot ...\cdot b_{1} }}\)

Tzn. u ciebie
\(\displaystyle{ s_{n}=\frac{\overbrace{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot ...\cdot \frac{1}{2}}^{\text{n-1 razy}}}{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 1 }}\)

[niks]

Więc wyszło mi coś takiego (robiłam wg tego co pod linkiem)

\(\displaystyle{ t_{n} = \frac{1}{ s_{n} \cdot a_{n} } \cdot ( \sum_{k=1}^{n} \cdot s_{k} \cdot c_{k} )}\)
co dalej? Podstawić tutaj to co wyszło \(\displaystyle{ s_{n}}\) ?

[arek1357]

Masz tu bardzo podobne zadanie krok po kroku zrobione dwoma sposobami przez zemnie i przez abc666
kombinatoryka-i-matematyka-dyskretna-f4 ... 29848.html

[niks]

Masz tu bardzo podobne zadanie krok po kroku zrobione dwoma sposobami przez zemnie i przez abc666

229848.htm#p856394

ok, ale mam dygresje do jednej rzeczy. Tam na samym początku co pisałeś pierwszego posta. We wzorze na \(\displaystyle{ s_{n}}\) jest \(\displaystyle{ a_{n-1}}\). W danych mamy podane, że \(\displaystyle{ a_{n} = 2}\), a ty podstawiasz to \(\displaystyle{ 2}\) za \(\displaystyle{ a_{n-1}}\)... Nie wiem, może ja jestem jakaś głupia, oświećcie mnie
wychodzi na to że \(\displaystyle{ a_{n}}\) = \(\displaystyle{ a_{n-1}}\)

[arek1357]

Tam za an przyjąłem =2 , an to ciąg stały więc a(n-1) też wynosi 2.dla każdego n ciąg stały
W sumie nie musiałem tak robić mogłem podzielić przez 2 obie strony ale chyba tak było wygodniej

[niks]

I to jest jakaś reguła, zawsze tak można robić?

[arek1357]

Tzn z czym reguła i co można tak robić??? precyzyjniej plis.

[niks]

hmm no chodzi mi konkretnie o to że do wzoru na \(\displaystyle{ s_{n}}\) trzeba podstawić \(\displaystyle{ a_{n-1 }}\) i \(\displaystyle{ b_{n }}\) i przyjąć że \(\displaystyle{ a_{n}}\) to ciąg stały. (więc w tym przypadku było \(\displaystyle{ a_{n-1 }}\) równe 2, a mamy podane \(\displaystyle{ a_{n}}\) prawda, a nie \(\displaystyle{ a_{n-1}}\), dlatego mnie to trapi...)