Matematyka.pl

"W jakiej odległości należy stanąć od pionowego odcinka, aby wydawał się on najdłuższy"?
Dokładniej opisując - mamy pionową poprzeczkę wiszącą sobie przed nami, jej górny wierzchołek jest na wysokości \(\displaystyle{ a}\), a dolny na wysokości \(\displaystyle{ b}\) nad poziomem naszego wzroku (czyli poprzeczka ma długość \(\displaystyle{ a-b}\)). \(\displaystyle{ x}\) jest odległością, w jakiej stajemy od poprzeczki:
\(\displaystyle{ \fcolorbox{white}{white}{%
\begin{pspicture}(0,-3.37)(8.5675,3.37)
\pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer](0.64,-0.71){0.38}
\psline[linewidth=0.04cm](0.62,-1.05)(0.64,-2.67)
\psline[linewidth=0.04cm](0.66,-2.67)(0.04,-3.35)
\psline[linewidth=0.04cm](0.64,-2.69)(0.98,-3.29)
\psline[linewidth=0.04cm](0.0,-1.47)(1.3,-1.47)
\psline[linewidth=0.08cm,linecolor=red](7.74,3.33)(7.74,0.53)
\psline[linewidth=0.04cm](1.02,-0.69)(7.76,-0.65)
\psline[linewidth=0.04cm](1.04,-0.65)(7.76,3.35)
\psline[linewidth=0.04cm](0.98,-0.63)(7.72,0.57)
\psline[linewidth=0.04cm](7.72,0.55)(7.74,-0.63)
\rput(4.2454686,-0.96){x}
\rput(8.004219,0.2){b}
\rput(8.297344,2.2){a-b}
\end{pspicture}
}%}\)

Rozwiązanie tego problemu jest dość proste, wystarczy policzyć pochodną pewnej funkcji i mamy rozwiązanie (wychodzi dość ciekawy wynik). Zadanie jednak polega na tym, aby ten wynik uzyskać za pomocą narzędzi dostępnych dla ówczesnych matematyków. Powodzenia!

edit: usunąłem dane do googlowania

Dla mnie dosyć niezrozumiałą rzeczą jest co znaczy "wydaje się najdłuższy".
Jak ja staję naprzeciw takiego odcinka to dla moich oczu tym odcinek większy im bliżej niego stoję.

arek1357 - przylep kartkę na ścianę i podejdź tuż pod nią, zobaczysz o co chodzi.

Obrazek wygasł
Pozwoliłem sobie na wykonanie rysunku pomocniczego. Chodzi (zapewne) o to by stwierdzić dla jakiego x wartość y jest maksymalna?

Chodzi o maksymalizację tangensa kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) (ale bez używania funkcji trygonometrycznych):

\(\displaystyle{ \fcolorbox{white}{white}{% {
\begin{pspicture}(0,-2.64)(9.099063,2.62)
\psline[linewidth=0.08cm,linecolor=red](7.12,2.58)(7.1,0.0)
\psline[linewidth=0.04cm](0.0,-2.16)(7.1,-2.16)
\psline[linewidth=0.04cm](0.02,-2.14)(7.12,0.04)
\psline[linewidth=0.04cm](0.04,-2.14)(7.14,2.6)
\psline[linewidth=0.04cm](7.1,0.04)(7.1,-2.16)
\psarc(0,-2.14){2}{17}{33}
\rput(7.8442187,-0.91){b}
\rput(8.240156,1.89){poprzeczka}
\rput(7.657344,1.21){a-b}
\rput(3.7654688,-2.49){x}
\rput(1.5454688,-1.29){$\alpha$}
\end{pspicture}
}}\)

AA chodzi po prostu o to żeby kąt alfa był jak największy-- 2 stycznia 2012, 15:10 --trzeba badać funkcję: z tw cosinusów

\(\displaystyle{ cos( \alpha )= \frac{x^{2}+ab}{ \sqrt{x^{2}+a^{2}} \sqrt{x^{2}+b^{2}}}}\)

ale chodzi o rozwiązanie bez użycia funkcji trygonometrycznej

Mi wyszło bez uzycia funkcji trygonometrycznych \(\displaystyle{ x= \frac{a+b}{2}}\)
Czy to poprawny wynik?
Co zresztą wyjaśnia dlaczego podano dane w ten sposób a nie po prostu długość poprzeczki jako np.: \(\displaystyle{ d}\)

To nie jest prawidłowa odpowiedź.

arek1357 - przekombinowałeś.

A czemu przekombinowałem wyliczyłem w zależności od odległości od ściany rozwartość kąta
i trzeba badać minimum tej funkcji bo wiadomo tym kąt większy im cosinus mniejszy

W XV wieku nie było tw. cosinusów i nikt nie marzył jeszcze o rachunku pochodnych-- 2 sty 2012, o 18:01 --Poza tym to zadanie można też zrobic z tangensa różnicy kątów ale właśnie sęk w tym żeby je ugryźć bez tego

W sumie to ja im współczuję że nie znali cosinusów

arek
Funkcje trygonometryczne same w sobie są znane od starożytności. Istotą rzeczy jest "twierdzenie cosinusów"

timon92 - to jakie jest rozwiązanie?

detale:

Gratulacje