Matematyka.pl

Prosze o pomoc z zadaniem, nie wiem w ogole jak sie za to zabrac
Wyznaczyc rozwiazanie zagadnienia poczatkowego:
\(\displaystyle{ y'''-2y''+y'=2-24 e^{x}+40 e^{5x}}\), \(\displaystyle{ y(0)= \frac{1}{2}, y'(0)= \frac{5}{2}, y''(0)=- \frac{9}{2}}\)

Postępujesz standardowo: rozwiązujesz najpierw równanie jednorodne (z zerem po prawej stronie) przy użyciu wielomianu charakterystycznego, a następnie przewidujesz postać rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

Skoro macie na zajęciach takie zadania, to z całą pewnością na wykładach metoda musiała być dokładnie omówiona.

Q.

Tu masz rozpisane dla

\(\displaystyle{ \frac{dq}{dt}}\) i \(\displaystyle{ q}\) czyli tak jakby Twój przykład miał tylko \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\) i \(\displaystyle{ y}\).


277352.htm


Jest to inna metoda niż przewidywań! Od niej o wiele dłuższa ale moim zdaniem do ogarnięcia.

Anthil, tak tylko że tutaj masz równanie wyższego rzędu


Jeżeli chciałby tą metodą to musiałby policzyć

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&e^{x}&xe^{x} \\ 0&e^{x}&\left( x+1\right)e^{x}\\0&e^{x}&\left( x+2\right)e^{x} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} C_{1}^{\prime}\left( x\right) \\ C_{2}^{\prime}\left( x\right) \\C_{3}^{\prime}\left( x\right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\2-24e^{x}+40e^{5x} \end{bmatrix}}\)

Tutaj rachunek operatorowy i transformacja Laplace powinien się sprawdzić

\(\displaystyle{ y'''-2y''+y'=2-24 e^{x}+40 e^{5x}}\)
\(\displaystyle{ y(0)= \frac{1}{2}, y'(0)= \frac{5}{2}, y''(0)=- \frac{9}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( s^3Y\left( s\right)-s^2 \cdot \frac{1}{2}-s \cdot \frac{5}{2}+ \frac{9}{2} \right)-2\left( s^{2}Y\left( s\right)-s \cdot \frac{1}{2}- \frac{5}{2} \right)+\left( sY\left( s\right)- \frac{1}{2} \right)= \frac{2}{s}- \frac{24}{s-1}+ \frac{40}{s-5}\\
s^{3}Y\left( s\right)- \frac{1}{2}s^{2}- \frac{5}{2}s+ \frac{9}{2}-2s^{2}Y\left( s\right)+s+5+sY\left( s\right)- \frac{1}{2}=\frac{2}{s}- \frac{24}{s-1}+ \frac{40}{s-5}\\
Y\left( s\right)\left( s^{3}-2s^{2}+s\right)-\frac{1}{2}s^{2}- \frac{3}{2}s+9=\frac{2}{s}- \frac{24}{s-1}+ \frac{40}{s-5}\\
Y\left( s\right)\left( s^{3}-2s^{2}+s\right)=\frac{1}{2}s^{2}+ \frac{3}{2}s-9+\frac{2}{s}- \frac{24}{s-1}+ \frac{40}{s-5}\\
Y\left( s\right)= \frac{1}{2} \frac{s^2}{s^{3}-2s^2+s}+ \frac{3}{2} \frac{s}{s^{3}-2s^2+s}- \frac{9}{s^{3}-2s^2+s}+\frac{2}{s\left( s^3-2s^2+s\right) }- \frac{24}{\left( s-1\right)\left( s^3-2s^2+s\right) }+ \frac{40}{\left( s-5\right)\left( s^{3}-2s^2+s\right) }\\
Y\left( s\right)= \frac{1}{2} \frac{s}{s^{2}-2s+1}+ \frac{3}{2} \frac{1}{s^{2}-2s+1}- \frac{9}{s^{3}-2s^2+s}+\frac{2}{s\left( s^3-2s^2+s\right) }- \frac{24}{\left( s-1\right)\left( s^3-2s^2+s\right) }+ \frac{40}{\left( s-5\right)\left( s^{3}-2s^2+s\right) }\\}\)

Aby otrzymać transformatę odwrotną rozkładasz na ułamki proste a następnie korzystasz ze splotu
lub z różniczkowania obrazu albo z przesunięcia