Matematyka.pl

Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić skąd przybliżenie
\(\displaystyle{ (d_{0}+x) ^{-2}= d_{0}^{-2}(1-2x/d_{0})}\)
dla małych x?
Źródło:
nad 16 równaniem drugiego zadania

Z rozwinięcia w .

Czy to nie powinno być jakieś bardziej oczywiste przybliżenie?
Czy można prosić o wyjasnienie przybliżenia krok po kroku ?

Zastosowanie wzoru Taylora jest tu standardowym rozwiązaniem. Ale jeśli wolisz inne rozwiązanie, to mogę zaprezentować jakąś ściemę, wydaje mi się że przekonującą.

Mamy równość

\(\displaystyle{ \frac1{1+\frac{x}{d_0}}=1-\frac{x}{d_0}+\frac{x^2}{d_0^2}\cdot\frac1{1+\frac{x}{d_0}}}\).

Gdy \(\displaystyle{ \frac{x}{d_0}}\) jest bliskie zeru, to \(\displaystyle{ \frac{x^2}{d_0^2}}\) jest takie małe, że szkoda nawet o nim wspominać, czyli

\(\displaystyle{ \frac1{1+\frac{x}{d_0}}\approx 1-\frac{x}{d_0}}\).

Mamy więc

\(\displaystyle{ (d_{0}+x) ^{-2}=\frac1{d_0^2}\cdot \left(\frac1{1+\frac{x}{d_0}}\right)^2\approx
\frac1{d_0^2}\cdot\left(1-\frac{x}{d_0}\right)^2=\frac1{d_0^2}\left(1-\frac{2x}{d_0}+\frac{x^2}{d_0^2}\right)}\).

Po ponownym zaniedbaniu małego składnika otrzymujemy żądane przybliżenie.

W treści zadania mamy podaną zależność, z której należy skorzystać. Mianowicie \(\displaystyle{ (1+x)^n \approx 1+nx}\)
Najpierw wyłączono \(\displaystyle{ d_0^{-2}}\) przed nawias, a potem skorzystano z tego przybliżenia przyjmując \(\displaystyle{ n=-2}\)

norwimaj pisze:Zastosowanie wzoru Taylora jest tu standardowym rozwiązaniem. Ale jeśli wolisz inne rozwiązanie, to mogę zaprezentować jakąś ściemę, wydaje mi się że przekonującą.

Mamy równość

\(\displaystyle{ \frac1{1+\frac{x}{d_0}}=1-\frac{x}{d_0}+\frac{x^2}{d_0^2}\cdot\frac1{1+\frac{x}{d_0}}}\).

Gdy \(\displaystyle{ \frac{x}{d_0}}\) jest bliskie zeru, to \(\displaystyle{ \frac{x^2}{d_0^2}}\) jest takie małe, że szkoda nawet o nim wspominać, czyli

\(\displaystyle{ \frac1{1+\frac{x}{d_0}}\approx 1-\frac{x}{d_0}}\).

Mamy więc

\(\displaystyle{ (d_{0}+x) ^{-2}=\frac1{d_0^2}\cdot \left(\frac1{1+\frac{x}{d_0}}\right)^2\approx
\frac1{d_0^2}\cdot\left(1-\frac{x}{d_0}\right)^2=\frac1{d_0^2}\left(1-\frac{2x}{d_0}+\frac{x^2}{d_0^2}\right)}\).

Po ponownym zaniedbaniu małego składnika otrzymujemy żądane przybliżenie.

Tak to wygląda dobrze!

ares41 pisze:W treści zadania mamy podaną zależność, z której należy skorzystać. Mianowicie \(\displaystyle{ (1+x)^n \approx 1+nx}\)
Najpierw wyłączono \(\displaystyle{ d_0^{-2}}\) przed nawias, a potem skorzystano z tego przybliżenia przyjmując \(\displaystyle{ n=-2}\)

Tego nie zauważyłem ! Wielkie dzięki!