Równanie różniczkowe cząstkowe - badanie formy

[Anthil]

Mam określić typ równania i o ile to jest proste równanie typu:

\(\displaystyle{ A(x,y)\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + 2B(x,y)\frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y} + C(x,y)\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + M(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})=0}\)

to nie ma problemu. Ale co jeśli mamy np. coś takiego:

\(\displaystyle{ 4U_{xx}+2U_{yy}-6U_{zz}+6U_{xy}+10U_{xz}+4U_{yz}+2U=0}\)

Gdzie \(\displaystyle{ U_{xx}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}}\) itd.

Ponoć trzeba zbadać formę takiego równania i na jej podstawie tak jak na podstawie \(\displaystyle{ \Delta}\) w tym prostym, określi się jego typ (eliptyczny,hiperboliczny,paraboliczny - takie 3 podstawowe)

Tylko jak się zabrać krok po kroku do badania tej formy ? : (

[luka52]

Postępuje się tak samo jak przy badaniu określoności formy kwadratowej.

[Anthil]

To macierz, którą mam badać będzie wyglądać tak? : (dla tego przykładu \(\displaystyle{ 4U_{xx}}\)itd)


\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}
4 & 3 & 5 \\
3 & 2 & 2 \\
5 & 2 & -6
\end{matrix}\right]}\)

(,bo te mieszane dzielimy przez 2, tak?)

I wtedy:

\(\displaystyle{ d_{1}=4>0}\)

\(\displaystyle{ d_{2}=-1<0}\)

\(\displaystyle{ d_{3}=0}\)

I na podstawie tego jako, że występuje zero twierdzimy, że to ma typ paraboliczny. Tak?

A jak się dalej wziąć za rozwiązywanie tego zagadnienia? Tzn. jak to doprowadzić do takiej postaci gdzie będę mieć pierwiastki i na ich podstawie będę mógł robić zamianę zmiennych ?-- 1 stycznia 2012, 21:15 --Nikt nie wie?