Matematyka.pl

Tutaj treści, a wyżej treści z rysunkami. Jak to nie kłopot to prosiłbym o jakieś wskazówki, bo fajniej byłoby samemu je zrobić. ;D


29. Czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) podzielono na dziewięć czworokątów,
jak pokazano na rysunku 29. Udowodnić, ze jeśli
w zacieniowane czworokąty można wpisać okręgi, to również
w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\)można wpisać okrąg.

30. Punkty \(\displaystyle{ D, E, F}\) lezą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ BC, CA,
AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Odcinki \(\displaystyle{ AD, BE i CF}\) przecinają się
w punkcie \(\displaystyle{ P}\) (rys. 30). Wykazać, ze jeśli w czworokąty \(\displaystyle{ AFPE}\)
i \(\displaystyle{ FBDP}\)można wpisać okręgi, to również w czworokąt \(\displaystyle{ DCEP}\)
można wpisać okrąg.

31.W czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\)można wpisać okrąg. Punkt
\(\displaystyle{ P}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ CD}\). Wykazać, ze istnieje wspólna styczna
do okręgów wpisanych w trójkąty \(\displaystyle{ ABP, BCP}\) i \(\displaystyle{ DAP}\) (rys. 31).

I jeszcze jedno. Ale to akurat zrobiłem inwersją i się zastanawiałem nad jakimś elementarnym dowodem. Doszedłem do wniosku, że jakby wszystkie cztery okręgi miały wspólny środek potęgowy, to już niemalże miałbym tezę. Da się coś takiego wykazać?

35. Cztery okręgi są styczne zewnętrznie w punktach\(\displaystyle{ A, B,
C, D}\), jak pokazano na rysunku 35. Wykazać, ze punkty \(\displaystyle{ A,
B, C, D}\) lezą na jednym okręgu.

W \(\displaystyle{ 35.}\) jak zrobisz czworokąt ze środków okręgów to zobaczysz, że ten okrąg jest wpisany w zrobiony czworokąt. Wynika to z tego, że tam, gdzie są punkty styczności okręgu wpisanego z czworokątem, powstają równości pewnych odcinków stycznych do okręgu (promieni) oraz z tego, że taka czwórka punktów jest dokładnie jedna (to raczej łatwy lemat). A skoro jest jedna, i mamy tą jedną, to musi być ta nasza fajna, generująca okrąg wpisany. Mam nadzieję że nie namieszałem za ostro

Nie wiem, czy zrozumiałem do końca ten lemat do pokazania. Bo jak np. w kwadracie mamy cztery punkty będące środkami boków , a jak np. z dwóch przeciwległych wierzchołków zatoczę łuki takiej samej długości, ale różne od połowy, to też otrzymuję punkty, które tworzą odcinki o odpowiednio równych długościach.

Mszak pisze:Jak to nie kłopot to prosiłbym o jakieś wskazówki

popatrz na tytuł rozdziału

O tym już pomyślałem, ale nie byłem w stanie nic więcej wymyślić, dlatego liczyłem na jakieś bardziej konkretne wskazówki. ;d

Ta, zdaje się, że to był blef. Przepraszam najmocniej.


Ale za to mam inne, oparte o kąty dopisane. Na każdy kąt wielokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) składają się dwa kąty dopisane do sąsiednich okręgów. Oznaczając i sumując przeciwległe dostajemy równość, czyli warunek wpisywalności wielokąta w okrąg.

Dołączam do prośby o \(\displaystyle{ 29,30,31}\).

29. Trzeba zastosować twierdzenie o czapeczce dla dwóch okręgów. tzn jeśli mamy dwa okręgi i proste dwie proste styczne to odpowiednie odcinki są równej długości
30. Wykorzystaj zadanie 27
31 Należy dowieść że jeśli poprowadzimy styczną do okręgów wpisanych w PCB i DPA to w czworokąt utworzony przez styczną i trókąt PBA da się wpisać okrąg.
35. Policz kąty. Jeśli okręgi są styczne to ich środki i punkt styczności leżą na jednej prostej.

Panda pisze:Wynika to z tego, że tam, gdzie są punkty styczności okręgu wpisanego z czworokątem, powstają równości pewnych odcinków stycznych do okręgu (promieni) oraz z tego, że taka czwórka punktów jest dokładnie jedna (to raczej łatwy lemat).

Wystarczy powiedzieć, że istnieje co najwyżej jeden okrąg wpisany w czworokąt.

Ale to i tak nie działa. Kontrprzykład - okręgi o promieniach \(\displaystyle{ r_{1} = r_{3}}\) i \(\displaystyle{ r_{2} = r_{4}}\). Powstaje kwadrat, a okrąg wpisany w niego to nie okrąg \(\displaystyle{ ABCD}\).

Panda pisze:W \(\displaystyle{ 35.}\) jak zrobisz czworokąt ze środków okręgów to zobaczysz, że ten okrąg jest wpisany w zrobiony czworokąt. Wynika to z tego, że tam, gdzie są punkty styczności okręgu wpisanego z czworokątem, powstają równości pewnych odcinków stycznych do okręgu (promieni) oraz z tego, że taka czwórka punktów jest dokładnie jedna (to raczej łatwy lemat). A skoro jest jedna, i mamy tą jedną, to musi być ta nasza fajna, generująca okrąg wpisany. Mam nadzieję że nie namieszałem za ostro

To jest zadanie, w którym >50% osób puszcza na początku takiego blefa (w tym zaliczam się do nich ja i timon92 xD)

Ok, dzięki Panda, poszło. Ale z użyciem inwersji łatwiej było zauważyć. ;d

No, udało mi się. Dzięki wielkie Wam wszystkim. Jak będę robił dalej i napotkam problemy to tutaj napiszę, żeby nie zakładać miliona tematów. ;d

timon92 pomógł mi odblefić rozwiązanie tego zadania więc wrzucam:

Łatwo dowodzimy, że środki tych \(\displaystyle{ 4}\) okręgów (\(\displaystyle{ O_1}\), \(\displaystyle{ O_2}\), \(\displaystyle{ O_3}\), \(\displaystyle{ O_4}\) tworzą czworokąt, w który da się wpisać okrąg, wobec czego jego dwusieczne tną się w jednym punkcie. Jednak patrząc na trójkąt \(\displaystyle{ O_1AB}\) widzimy, że dwusieczna \(\displaystyle{ \angle AO_1B}\) jest jednocześnie symetralną odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Powtarzając to rozumowanie dla wszystkich boków czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) dostajemy, że symetralne boków czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) tną się w jednym punkcie, skąd wniosek, że da się na nim opisać okrąg.

Po co kombinować, kąty wystarczy policzyć. Mamy przecież cztery trójkąty równoramienne.... To wystarcza

Mógłby mi ktoś coś powiedzieć o zadaniu 36?

Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Udowodnić, ze
środki okręgów wpisanych w trójkąty \(\displaystyle{ BCD}\), \(\displaystyle{ CDA}\), \(\displaystyle{ DAB}\)oraz
\(\displaystyle{ ABC}\) są wierzchołkami prostokąta.

Zlicz wszystkie kąty.