Brzeg zbioru liczb wymiernych

[rkaminski]

Witam,

Jak można udowodnić, że brzeg zbioru liczb wymiernych jest zbiorem liczb rzeczywistych? Innymi słowy dlaczego:

\(\displaystyle{ \mathrm{bd} \ \mathbb{Q}=\mathbb{R}}\)

Wydaje mi się to bardzo nieintuicyjne.

Z góry dzięki.

Radek

[Dasio11]

A jaką przyjmujesz definicję brzegu?

Jeśli np. \(\displaystyle{ \mathrm{bd} \; A = \mathrm{cl} \; A \setminus \mathrm{int} \; A,}\) to wystarczy udowodnić, że każda liczba rzeczywista należy do domknięcia \(\displaystyle{ \mathbb Q,}\) ale żadna nie należy do jego wnętrza.

[rkaminski]

Przyznam, że muszę się nad tym troszkę zastanowić zatem i odświerzyć swoją (jakże okazuje się nikłą) wiedzę z podstaw matematyki... Masz rację, że w tym przypadku co piszesz dowód będzie chyba dość prosty, muszę go tylko spróbować przelać na papier:) Aczkolwiek za dalsze sugestie będę wdzięczny:)

[Ein]

W każdym otoczeniu każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba wymierna, stąd każda liczba rzeczywista należy do domknięcia zbioru liczb wymiernych. (\(\displaystyle{ \Rightarrow\text{cl}\ \mathbb{Q}=\mathbb{R}}\))

W każdym otoczeniu każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba niewymierna, stąd żaden zbiór otwarty nie zawiera się w zbiorze liczb wymiernych. (\(\displaystyle{ \Rightarrow\text{int}\ \mathbb{Q}=\emptyset}\))