Brzeg zbioru liczb wymiernych

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
rkaminski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Brzeg zbioru liczb wymiernych

Post autor: rkaminski » 26 gru 2011, o 21:29

Witam,

Jak można udowodnić, że brzeg zbioru liczb wymiernych jest zbiorem liczb rzeczywistych? Innymi słowy dlaczego:

\(\displaystyle{ \mathrm{bd} \ \mathbb{Q}=\mathbb{R}}\)

Wydaje mi się to bardzo nieintuicyjne.

Z góry dzięki.

Radek
Ostatnio zmieniony 26 gru 2011, o 22:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8585
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1799 razy

Brzeg zbioru liczb wymiernych

Post autor: Dasio11 » 26 gru 2011, o 22:04

A jaką przyjmujesz definicję brzegu?

Jeśli np. \(\displaystyle{ \mathrm{bd} \; A = \mathrm{cl} \; A \setminus \mathrm{int} \; A,}\) to wystarczy udowodnić, że każda liczba rzeczywista należy do domknięcia \(\displaystyle{ \mathbb Q,}\) ale żadna nie należy do jego wnętrza.

rkaminski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Brzeg zbioru liczb wymiernych

Post autor: rkaminski » 26 gru 2011, o 23:25

Przyznam, że muszę się nad tym troszkę zastanowić zatem i odświerzyć swoją (jakże okazuje się nikłą) wiedzę z podstaw matematyki... Masz rację, że w tym przypadku co piszesz dowód będzie chyba dość prosty, muszę go tylko spróbować przelać na papier:) Aczkolwiek za dalsze sugestie będę wdzięczny:)

Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Brzeg zbioru liczb wymiernych

Post autor: Ein » 27 gru 2011, o 17:16

W każdym otoczeniu każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba wymierna, stąd każda liczba rzeczywista należy do domknięcia zbioru liczb wymiernych. (\(\displaystyle{ \Rightarrow\text{cl}\ \mathbb{Q}=\mathbb{R}}\))

W każdym otoczeniu każdej liczby rzeczywistej istnieje liczba niewymierna, stąd żaden zbiór otwarty nie zawiera się w zbiorze liczb wymiernych. (\(\displaystyle{ \Rightarrow\text{int}\ \mathbb{Q}=\emptyset}\))

ODPOWIEDZ