Matematyka.pl

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji:


\(\displaystyle{ g(x)=(sin^{2}x)^{3} + (cos^{2}x)^{3}}\)


przekształcałem to i wyszło mi cos2x do potegi 2 a ma wyjsc max 1 a min 1/4 prosze o pomoc

cóż ja to zrobiłbym z pochodnych:
\(\displaystyle{ g'(x)=3(sin{x})^4*2sin{x}cos{x}+3(cos{x})^4*2cos{x}sin{x}=0}\) wyicągasz przed nawias i liczysz.

\(\displaystyle{ g(x) = (sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2x*cos^2x + cos^4x) = (sin^2x + cos^2x)^2 - 3sin^2x*cos^2x =1-3sin^2x*cos^2x= 1 -\frac{3}{4}(4sin^2x*cos^2x) = 1-\frac{3}{4}sin^2(2x)}\)
Określamy zbiór wartości tej funkcji:
\(\displaystyle{ 0 q sin^2(2x) q 1}\)
\(\displaystyle{ 0 q -\frac{3}{4}sin^2(2x) q -\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ 1 q -\frac{3}{4}sin^2(2x) + 1 q \frac{1}{4}}\)

Więc max to \(\displaystyle{ 1}\) a najmniejsza to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

Może racja lepszy pomysł z pochodnymi.

[ Dodano: 1 Luty 2007, 19:47 ]
Baksio a da sie z pochodnymi możesz zrobić?

(sin�x)�+(cos�x)� z sumy szescianów

(sin�x+cos�x)((sin�x)�-sin�x*cos�x+(cos�x)�)=

(sin�x)�-sin�x*cos�x+(cos�x)�=

≡ a� - ab + b�= (a-b)� +ab≡

( (sin�x-cos�x)� + cos�x*sin�x=

(-cos2x)� + 0.25*(2*sinx*cosx)�=

cos�2x+0.25sin�2x=

cos�2x+sin�2x - 0.75*sin�2x=

1 - 0.75sin�2x

0 ≤ sin�2x ≤1
0 ≤ sin�2x ≤0.75
-0.75 ≤ -sin�2x ≤ 0

0.25 ≤ 1-sin�2x ≤1

min = 0.25
max =

A z pochodnych umie ktoś?

przecież napisałem ci pochodną, tylko zabdaj jej miejsce zerowe i przedział monotoniczności, żeby wiedzieć czy jest minimum czy maksimum

No wychodzą bzdety to nie jest sposób chyba masz pochodną równa 3 sin2x miejsca zerowe pi/2 i pi podstaw te wartości i co wychodzi? 1 i 1

wiesz pochodną przy takich funkcjach potęowych liczy się najpierw zewnętrzną* wewnętrzną

no ale spróbuj sobie to dokończyć prosze

Ta pochodna to \(\displaystyle{ 3sin^4x \cdot 2sinxcosx - 3cos^4x \cdot 2cosxsinx}\), a nie plus, bo (cosx)'= -sinx. Teraz wychodzi 1 i 1/4