Interpolacja pochodnej metodą pięciopunktową

[waldekdubiel]

Cześć:)

Oto kawałek treści pewnego projektu który mam zrealizować:

obliczyć pochodną funkcji w przedziale <-3,3> metodą pięciopunktową w tył, w przód i różnicy centralnej

Od dłuższego czasu poszukuję odpowiednich wzorów, niestety nie udało mi się znaleźć niczego konkretnego:(

Jeśli ktoś posiada wzory powyższych metod to byłbym bardzo wdzięczny:)

[szw1710]

O różnicach progresywnych (w przód, forward), wstecznych (w tył, backward) i centralnych poczytasz tutaj:

Pięciopunktowe nie wiem jak by wyglądały. Jeśli będziemy iterować powiedzmy różnicę progresywną, to dostalibyśmy wyrażenie

\(\displaystyle{ f(x+4h)-4f(x+3h)+6f(x+2h)-4f(x+h)+f(x)\,,}\)

które dzielone przez \(\displaystyle{ h^4}\) przybliża nie pochodną, lecz czwartą pochodną (oczywiście funkcji czterokrotnie różniczkowalnej, to bardzo ważne, bo dla funkcji nieróżniczkowalnych mogą stąd cuda wychodzić).

Więc opisz na czym miałaby polegać ta metoda pięciopunktowa. Co ma obliczać? Pochodną czy czwartą pochodną?

[Psiaczek]

Może chodzi o te wzory?
-centralnie:
\(\displaystyle{ f'(x _{0}) \approx \frac{1}{12h}\left[ f(x _{0}-2h)-8f(x _{0}-h)+8f(x _{0}+h)-f(x _{0}+2h)\right]}\)


w przód:
\(\displaystyle{ f'(x _{0}) \approx \frac{1}{12h}\left[ -25f(x _{0})+48f(x _{0}+h)-36f(x _{0}+2h)+16f(x _{0}+3h)-3f(x _{0}+4h)\right]}\)

Pierwszy wzór jest też pięciopunktowy, ze środkowym współczynnikiem zero.

[waldekdubiel]

Może chodzi o te wzory?
-centralnie:
\(\displaystyle{ f'(x _{0}) \approx \frac{1}{12h}\left[ f(x _{0}-2h)-8f(x _{0}-h)+8f(x _{0}+h)-f(x _{0}+2h)\right]}\)


w przód:
\(\displaystyle{ f'(x _{0}) \approx \frac{1}{12h}\left[ -25f(x _{0})+48f(x _{0}+h)-36f(x _{0}+2h)+16f(x _{0}+3h)-3f(x _{0}+4h)\right]}\)

Pierwszy wzór jest też pięciopunktowy, ze środkowym współczynnikiem zero.

Dzięki @Psiaczek, oba wzory dają dobre przybliżenia więc pewnie są w porządku.

do pełni szczęścia potrzebny jest mi jeszcze tylko wzór W TYŁ

@szw1710 - chodzi o wzory przybliżające pierwszą pochodną.

edit: wzór 'w tył' jest bardzo podobny do tego 'w przód' i wygląda następująco:

\(\displaystyle{ f'(x _{0}) \approx \frac{1}{12h}\left[ 3f(x _{0}-4h)-16f(x _{0}-3h)+36f(x _{0}-2h)-48f(x _{0}-h)+25f(x _{0})\right]}\)

Dziękuję za pomoc!:)