Matematyka.pl

Dany jest ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_1, a_2, ...., a_{1005} \leq 2007}\), silnie rosnący, tj. \(\displaystyle{ a_j < a_k}\) gdy j<k. Wykaż, ze wtedy istnieją p, q, r...t. ze \(\displaystyle{ a_p+a_q=a_r}\)

Niech \(\displaystyle{ A=\{a_1,a_2,...,a_{1005}\}}\). Bez zmniejszania ogolnosci mozemy zalozyc, ze a1 jest najmniejsze. Zakladajac, ze \(\displaystyle{ \forall_{k\in \{2,3,...,1005\}}a_k-a_1}\) nie nalezy do A otrzymamy 1004 liczby przyjmujace jedna z 1003 wartosci -> 2 z nich są rowne -> dla pewnych x,y zachodzi \(\displaystyle{ a_x-a_1=a_y-a_1\iff a_x=a_y}\) co jest sprzeczne z zalozeniem -> teza zachodzi.