Witam!
Mam problem, gdyż równania różniczkowe będę miał dopiero w przyszłym semestrze, a mam takie równanie do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}q}{ \mbox{d}t} + \frac{1}{RC}q - \frac{\epsilon}{R} = 0}\)
Byłbym wdzięczny jak by mi ktoś mógł wytłumaczyć/podpowiedzieć, jak to rozwiązać.
Pozdrawiam
równanie różniczkowe jednorodne - obwód RC
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4432
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6954
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
równanie różniczkowe jednorodne - obwód RC
lukasz1804, i co uzytkownik będzie wiedział skąd to się bierze
Poza tym gdy zapisze równanie w postaci \(\displaystyle{ y^{\prime}+py=q}\)
łatwiej zauważyć że lewa strona przypomina pochodną iloczynu
kkk, podstaw sobie \(\displaystyle{ y=uv}\)
i dwukrotnie rozdziel zmienne raz aby obliczyć v a drugi raz aby obliczyć u
Możesz także pomnożyć równanie przez nieznaną funkcję
i korzystając z tego że lewa strona przypomina pochodną iloczynu
ułożyć pomocnicze równanie które łatwo rozwiązać rozdzielając zmienne
Poza tym gdy zapisze równanie w postaci \(\displaystyle{ y^{\prime}+py=q}\)
łatwiej zauważyć że lewa strona przypomina pochodną iloczynu
kkk, podstaw sobie \(\displaystyle{ y=uv}\)
i dwukrotnie rozdziel zmienne raz aby obliczyć v a drugi raz aby obliczyć u
Możesz także pomnożyć równanie przez nieznaną funkcję
i korzystając z tego że lewa strona przypomina pochodną iloczynu
ułożyć pomocnicze równanie które łatwo rozwiązać rozdzielając zmienne
-
Anthil
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 8 wrz 2007, o 15:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Miasta
- Pomógł: 1 raz
równanie różniczkowe jednorodne - obwód RC
mariuszm, zauważyłem, że modzi na tym forum są 'strasznie' pomocni....
lukasz1804, 'fajnie', że ktoś kto nie miał różniczkowania na analizie zrozumie co tam jest napisane...
kkk, robione na szybko, więc głowy nie dam sobie uciąć
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}q=0\\\\
\frac{dq}{dt}=-\frac{1}{RC}q\\\\
\frac{dq}{q}=-\frac{1}{RC}dt \Rightarrow \int \\\\
\ln|q|=-\frac{1}{RC}t + \ln|D|\\\\
q = De^{-\frac{1}{RC}t}\\\\
Uzmienniasz stałą D:\\\\
q = D(t)e^{-\frac{1}{RC}t}\\\\
\frac{dq}{dt}=D(t)'e^{-\frac{1}{RC}t}-\frac{1}{RC}D(t)e^{-\frac{1}{RC}t}\\\\
Podstawiasz to do swojego równania \\\\
To co z D(t) ci się skraca. Zostaje:\\\\
D(t)'e^{-\frac{1}{RC}t}-\frac{\varepsilon}{R}=0\\\\\
D(t)=\frac{\varepsilon}{R}\int{\frac{1}{e^{-\frac{1}{RC}t}}}=\varepsilon C e^{\frac{1}{RC}t}+A\\\\
To D(t) wstawiasz do tego q = D(t)e^{-\frac{1}{RC}t}\\\\
Wychodzi (mi)\Rightarrow q=\varepsilon C + Ae^{-\frac{1}{RC}t}}\)
lukasz1804, 'fajnie', że ktoś kto nie miał różniczkowania na analizie zrozumie co tam jest napisane...
kkk, robione na szybko, więc głowy nie dam sobie uciąć
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}q=0\\\\
\frac{dq}{dt}=-\frac{1}{RC}q\\\\
\frac{dq}{q}=-\frac{1}{RC}dt \Rightarrow \int \\\\
\ln|q|=-\frac{1}{RC}t + \ln|D|\\\\
q = De^{-\frac{1}{RC}t}\\\\
Uzmienniasz stałą D:\\\\
q = D(t)e^{-\frac{1}{RC}t}\\\\
\frac{dq}{dt}=D(t)'e^{-\frac{1}{RC}t}-\frac{1}{RC}D(t)e^{-\frac{1}{RC}t}\\\\
Podstawiasz to do swojego równania \\\\
To co z D(t) ci się skraca. Zostaje:\\\\
D(t)'e^{-\frac{1}{RC}t}-\frac{\varepsilon}{R}=0\\\\\
D(t)=\frac{\varepsilon}{R}\int{\frac{1}{e^{-\frac{1}{RC}t}}}=\varepsilon C e^{\frac{1}{RC}t}+A\\\\
To D(t) wstawiasz do tego q = D(t)e^{-\frac{1}{RC}t}\\\\
Wychodzi (mi)\Rightarrow q=\varepsilon C + Ae^{-\frac{1}{RC}t}}\)
-
kkk
- Użytkownik
- Posty: 577
- Rejestracja: 2 paź 2007, o 19:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ww
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 35 razy
równanie różniczkowe jednorodne - obwód RC
DZIĘKUJĘ!!
Do tej pory chyba tak dobrej odpowiedzi nie dostałem! Anthil, chyba Ci browara wiszę
Wynik wyszedł Ci dobry (tylko na koniec q(0) = 0, ale to już banalne i sobie poradziłem).
Dzięki Tobie nauczyłem się rozwiązywać te równania dla obwodów. Na przykład analogicznie rozwiązałem równanie obwodu RL:
\(\displaystyle{ \frac{\epsilon}{RL} = \frac{i}{L} + \frac{1}{R} \cdot \frac{di}{dt}}\)
i wyszło mi bezbłędnie
Jeszcze raz wielkie dzięki!
Ps. analizę mam - pochodne już przerobione, teraz całki przerabiamy, ale przedmiot 'równania różniczkowe' mam na drugim semestrze dopiero i bardzo na rozwiązanie nie mogłem wpaść (tzn. jakoś rozwiązałem, jak dla RC jeszcze by przeszło to dla RL już nie). Dzięki więc za świetne wytłumaczenie
Do tej pory chyba tak dobrej odpowiedzi nie dostałem! Anthil, chyba Ci browara wiszę
Wynik wyszedł Ci dobry (tylko na koniec q(0) = 0, ale to już banalne i sobie poradziłem).
Dzięki Tobie nauczyłem się rozwiązywać te równania dla obwodów. Na przykład analogicznie rozwiązałem równanie obwodu RL:
\(\displaystyle{ \frac{\epsilon}{RL} = \frac{i}{L} + \frac{1}{R} \cdot \frac{di}{dt}}\)
i wyszło mi bezbłędnie
Jeszcze raz wielkie dzięki!
Ps. analizę mam - pochodne już przerobione, teraz całki przerabiamy, ale przedmiot 'równania różniczkowe' mam na drugim semestrze dopiero i bardzo na rozwiązanie nie mogłem wpaść (tzn. jakoś rozwiązałem, jak dla RC jeszcze by przeszło to dla RL już nie). Dzięki więc za świetne wytłumaczenie