Matematyka.pl

Zadanie jest następujące:
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cccc}1&x_1&x_1^2&x_1^3\\1&x_2&x_2^2&x_2^3\\1&x_3&x_3^2&x_3^3\\1&x_4&x^2_4&x^3_4\end{array}\right| = \prod_{i>j} (x_i -x_j)}\) dla \(\displaystyle{ i,j \in \{1,2,3,4\}}\), a następnie uogólnić to twierdzenie dla macierzy \(\displaystyle{ A=[a_{ij}]_{n \times n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{ij} = x_i^{j-1}}\).

Pierwszą część potrafię zrobić, ale zupełnie nie wiem jak zabrać się za drugą (czyli uogólnienie twierdzenia)... bardzo proszę o pomoc

Rozpisz sobie jak wyglądałby taki wyznacznik \(\displaystyle{ 3\times 3}\), spróbuj dostrzec związki z wyznacznikiem Vandermonde'a (tak się ten pierwszy nazywa).

No właśnie nawet z rozpisaniem mam problem... Dla uogólnionego przypadku \(\displaystyle{ i,j \in \{1,2,...,n\}}\) ? Czy taki wyznacznik 3x3 to nie będzie tak jakby minor macierzy z tego konkretnego przypadku (tzn nie będzie 4 wiersza i 4 kolumny, a reszta będzie taka sama)?

Jeśli nie za bardzo się wie jak się do czegoś zabrać warto polecić studium przypadków szczególnych. O to mi chodziło. Nie o żadne minory, tylko jak to wygląda dla w miarę prostej sytuacji. Jeśli się to zrozumie, można iść dalej. To taka rada naprowadzająca na to jak zrobić zadanie.

A... więc chodzi o zwykły wyznacznik Vandermonda. Jakoś wydawało mi się przez moment, że o trochę inny z nim związany. Ale dokładnie masz podać ogólny wzór na wyznacznik Vandermonde'a. Więc 3x3 juz mamy, nawet 4x4. Dobrze. Więc jakoś spróbuj przejść przez odejmowanie wierszy na przypadej 4x4 znając 3x3.

Zrozumiałam, dlaczego mam zaczynać od prostego przypadku, pytałam tylko czy dobrze mi się wydaje jak on wygląda, dlatego użyłam słowa 'minor' - czyli po prostu wyznacznik powstały po skreśleniu ostatniej kolumny i ostatniego wiersza. Mogłam to ubrać w inne słowa, przepraszam

Jak mam przejść z 3x3 na 4x4 ? Przecież one mają różne wymiary....?

Aj... nie przepraszaj. Przejście przez dodawanie/odejmowanie wierszy/kolumn i rozwinięcie Laplace'a. A w ogóle to popatrz na wyznacznik Vandermonde'a w podręcznikach algebry liniowej i w Internecie. Wyprowadzenie powinno być. W każdym razie nie stosuje się niczego innego jak własności wyznaczników.

Ja bym tak zrobił: rozwinięcie Laplace'a wg ostatniego wiersza.

Niech \(\displaystyle{ V(x_1,\dots,x_n)}\) oznacza wyznacznik Vandermonde'a liczb \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\). Teraz mamy

\(\displaystyle{ V(a,b,c,d)=-aV(b,c,d)+bV(a,c,d)-cV(a,b,d)+dV(a,b,c)\,,}\)

a wyznaczniki Vandermonde'a 3x3 powiedzmy że umiesz liczyć. Tak móglby wyglądac ogólny krok indukcyjny.

Ja tu widzę taki sposób. Pierwszy wiersz odejmujemy od każdego innego wiersza. Wtedy otrzymujemy w pierwszej kolumnie jedną jedynkę i potem same zera i możemy zrobić rozwinięcie Laplace'a względem tej kolumny. Dostajemy do policzenia wyznacznik mniejszej macierzy. Z każdego wiersza da się wyłączyć czynnik \(\displaystyle{ x_i-x_1}\). Następnie poprzez operacje na kolumnach sprowadzamy problem do policzenia wyznacznika Vandermonde'a macierzy \(\displaystyle{ (n-1)\times(n-1)}\).

Też o tym myślałem, ale się zaciąłem gdzieś po drodze.

ale dlaczego akurat od \(\displaystyle{ a,b,c,d}\)? tzn, dlaczego bierzemy aż 4 zmienne? i co będzie tu założeniem, a co tezą? :S

próbowałam to zrobić z indukcji "po swojemu", tzn sprawdziłam że \(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cc} 1&x_1\\1&x_2\end{array}\right| = x_2 - x_1}\), potem napisałam że
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccccc} 1&x_1&x_1^2&...&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&...&x_2^{n-1}\\...\\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&...&x_{n-1}^{n-1}\\ 1&x_n&x_n^2&...&x_n^{n-1}\end{array}\right| = \prod_{i>j} (x_i-x_j)}\) dla \(\displaystyle{ i,j \in \{1,2,...,n\}}\)
i chciałam udowodnić to dla \(\displaystyle{ n+1}\) ale po rozpisaniu tego wyznacznika nie umiem tak tego przekształcić, żeby skorzystać z założenia.

norwimaj, dokładnie tak została udowodniona pierwsza część zadania (tyle że na tym właśnie konkretnym przypadku)

4 zmienne bo wydawało mi się, że chcesz zobaczyć mechanizm. Oczywiście celem jest dowolna liczba zmiennych. Pokombinuj. Sposób, w jaki się wypowiadasz, sugeruje, że orientujesz się w temacie tylko gdzieś się zacinasz w rachunkach. Wskazówka norwimaja jest dobra.

skapitulowałam, rozpisałam to do momentu wyłączenia przed wyznacznik \(\displaystyle{ x_i-x_1}\), i dalej już się zacięłam, próbowałam coś z tymi kolumnami ale nie udało się.... :/

To poszukaj w podręcznikach.

w każdym razie, dziękuję za pomoc

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & x_1+x_2 & x_1^2+x_1x_2+x_2^2 & \cdots & x_1^{n-2}+\ldots+x_2^{n-2} \\
1 & x_1+x_3 & x_1^2+x_1x_3+x_3^2 & \cdots & x_1^{n-2}+\ldots+x_3^{n-2} \\
1 & x_1+x_4 & x_1^2+x_1x_4+x_4^2 & \cdots & x_1^{n-2}+\ldots+x_4^{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_1+x_n & x_1^2+x_1x_n+x_n^2 & \cdots & x_1^{n-2}+\ldots+x_n^{n-2}
\end{vmatrix}}\)

Najpierw możemy
- od drugiej kolumny odjąć pierwszą pomnożoną przez \(\displaystyle{ x_1}\),
- od trzeciej kolumny odjąć pierwszą pomnożoną przez \(\displaystyle{ x_1^2}\),
- ....
- od ostatniej kolumny odjąć pierwszą pomnożoną przez \(\displaystyle{ x_1^{n-2}}\).

Po tym wszystkim mamy już drugą kolumnę taką jak trzeba.

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & x_2 & x_1x_2+x_2^2 & \cdots & x_1^{n-3}x_2+\ldots+x_2^{n-2} \\
1 & x_3 & x_1x_3+x_3^2 & \cdots & x_1^{n-3}x_3+\ldots+x_3^{n-2} \\
1 & x_4 & x_1x_4+x_4^2 & \cdots & x_1^{n-3}x_4+\ldots+x_4^{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_1x_n+x_n^2 & \cdots & x_1^{n-3}x_n+\ldots+x_n^{n-2}
\end{vmatrix}}\)

W następnym kroku od kolumny trzeciej, czwartej itd. odejmujemy kolumnę drugą mnożoną przez \(\displaystyle{ x_1}\), \(\displaystyle{ x_1^2}\), itd.

aaaaa no to teraz rozumiem takie to proste, a jednak nie wpadłabym sama na to... dziękuję!