Matematyka.pl

Jeśli \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}\) dana jest w postaci \(\displaystyle{ f\left( x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=\left( f_1\left( x_1,x_2,\ldots,x_n\right),f_2\left( x_1,x_2,\ldots,x_n\right),\ldots,f_m\left( x_1,x_2,\ldots,x_n\right)\right)}\),
to macierz Jacobiego definiujemy wzorem:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc} \frac{ \partial f_1}{ \partial x_1} & \frac{ \partial f_1}{ \partial x_2} & \cdots & \frac{ \partial f_1}{ \partial x_n} \\ \frac{ \partial f_2}{ \partial x_1} & \frac{ \partial f_2}{ \partial x_2} & \cdots & \frac{ \partial f_2}{ \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \frac{ \partial f_m}{ \partial x_1} & \frac{ \partial f_m}{ \partial x_2} & \cdots & \frac{ \partial f_m}{ \partial x_n} \\ \end{array}\right]}\)


Przykład 1
Wyznacz macierz Jacobiego funkcji \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}}\) danej wzorem \(\displaystyle{ f(x,y,z)=\sin^2\left( 3x+2y-z\right)}\).
Przykład 2
Wyznacz macierz Jacobiego odwzorowania \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) danego wzorem \(\displaystyle{ f(x,y)=\left( x^2-y,\frac{x}{y}\right)}\).
Przykład 3
Wyznacz macierz Jacobiego odwzorowania \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) danego wzorem \(\displaystyle{ f(x,y)=\left( \arc\sin\left( x^2-y^2\right),\ln\left( x^2+y^2+1\right) ,\arc\tg x\right)}\).
Przykład 4
Wyznacz jakobian (wyznacznik macierzy Jacobiego) odwzorowania \(\displaystyle{ f(x,y)=\left( x\ln y, y \ln x\right)}\).
Przykład 5
Wyznacz jakobian (wyznacznik macierzy Jacobiego) odwzorowania \(\displaystyle{ f\left( r,\alpha,\beta\right)=\left( r\sin\beta, r\sin\alpha,r\cos\alpha\sin\beta\right)}\).
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW.