Matematyka.pl

Długości odcinków \(\displaystyle{ AB, AC, BC, BD}\) i \(\displaystyle{ CD}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ \left| AB \right| =\left|AC \right| + \left|BC \right|\\
\left|BC \right| + \left|BD \right| = \left|CD \right|}\)
Uzasadnij, że punkty \(\displaystyle{ A, B , C, D}\) są współliniowe.

Spróbowałem to wykazać podając kontrprzykład:
\(\displaystyle{ \left| AC\right|+ \left| BC\right| = \sqrt{\left[ AP ^{2} \right]+ \left|CP ^{2} \right| } + \sqrt{\left[ BP ^{2} \right]+ \left|CP ^{2} \right| } \neq \left| AB\right|}\)
Gdzie punkt \(\displaystyle{ P}\) jest punktem leżącym na prostej (tak umiejscowiony, żeby był współninowy z \(\displaystyle{ C}\) i były kąty proste) i zakładamy, że \(\displaystyle{ C}\) nie leży na tej prostej
Moje pytanie brzmi: czy jest to poprawne i czy podanie kontrprzykładu jest zaliczane w szkole czy na maturze.

Autor zadania nie zauważył że przypadek \(\displaystyle{ B=C}\) stwarza tu pewne problemy i teza zadania jest nieprawdziwa. Na maturze taka sytuacja nie powinna mieć miejsca.

Inna sprawa że Twojego kontrprzykładu nie rozumiem. Napisz pełne rozumowanie.

... tuujm.jpg/


Może obrazek pomoże. To zadanie robiłem zanim poznałem pewną zależność w szkole i teraz pewnie inaczej bym to zrobił (wtedy robiłem z własnej chęci to zadanie). Mimo to jestem ciekawy czy to jest poprawne.

Już zrozumiałem o co chodzi. Mylisz kontrprzykład z dowodem niewprost. Chcesz pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ |AB|=|AC|+|BC|}\), to punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) są współliniowe. Dowodzisz niewprost, więc zakładasz, że nie są współliniowe i dowodzisz, że wtedy \(\displaystyle{ |AB|\ne |AC|+|BC|}\).

Moim zdaniem lepiej by było jakoś uzasadnić nierówność

\(\displaystyle{ \sqrt{|AP|^2+|CP|^2} + \sqrt{|BP|^2+|CP|^2} \ne |AB|}\),

na przykład w ten sposób:

\(\displaystyle{ \sqrt{|AP|^2+|CP|^2} + \sqrt{|BP|^2+|CP|^2} >|AP|+|BP|\ge|AB|}\).

O to mi właśnie chodziło, trochę niejasno się wyraziłem, ale czasem cieżko coś dobrze opisać na forum.
Gdybym teraz to robił, to pewnie tak jak Ty napisałeś, bo dzisiaj właśnie mieliśmy o wspólniniowości pod względem nierówności trójkąta. Wczoraj jeszcze nie wiedziałem o tym.