Matematyka.pl

Sprawdź czy funkcja jest ciągła:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2 ^{x}\ &\text{dla}\ x \le -2 \\ \frac{2x+1}{8x+3}\ &\text{dla}\ -2<x \le -0,5 \\ e ^{2x}\ &\text{dla}\ x>-0,5 \end{cases}}\)

Nie wiem za bardzo w jaki sposób sprawdza się ciągłość funkcji i nie bardzo mogę tego znaleźć w Krysickim-Włodarskim, także wszelka pomoc bedzie nieoceniona...

Przy funkcjach danych różnymi wzorami na różnych podzbiorach dziedziny problem badania ciągłości sprowadza się do badania punktów sklejenia (dla pozostałych argumentów funkcja jest ciągła).

W każdym punkcie sklejenia należy zbadać, czy wartość funkcji jest równa obu granicom jednostronnym (w tym punkcie).
Sprawdź zatem, czy \(\displaystyle{ \lim_{x\to -2^+}f(x)=f(-2)}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to -0,5^+}f(x)=f(-0,5)}\).

Rozumiem, że funkcja może przyjmować różne wartości w punktach łączenia dla dwóch wzorów? tzn. jak mam wzór 1:

\(\displaystyle{ f(x)=2 ^{x} \Rightarrow f(-2)= \frac{1}{4}}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x \to-2 ^{-} } = \frac{1}{4}}\)

To granica i wartość funkcji wzoru 2:

\(\displaystyle{ \frac{2x+1}{8x+3}}\)

Nie muszą być równe tym ze wzoru 1?

---

Czyli jak rozumiem funkcja nie będzie ciągła tylko jeśli punkt sklejenia będzie należał do dziedziny danego wzoru, bo w innych przypadkach granica danego punktu i wartość funkcji w tym punkcie będą równe. Prawda ?