Matematyka.pl

Dopiero zaczynam swoją przygodę z liczbami zespolonymi i bardzo niepewnie poruszam się po tym gruncie. Ma zadanie, gdzie mam rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ 1+z+z ^{2} +z ^ {3} + z ^ {4} + z ^ {5}=0}\)
Ja bym to rozwiązała następująco:
\(\displaystyle{ 1+z+z ^{2}=-z^{3}(1+z+z ^{2})}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 0=-z^{3}}\)
Przechodząc do postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ 0=-r^{3}( \cos 3 \alpha + i \sin 3 \alpha )}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 0=r^{3}}\) lub \(\displaystyle{ 0= \cos 3 \alpha + i \sin 3 \alpha}\)
Dla pierwszej równości \(\displaystyle{ r=0}\)
A dla drugiej nierówności brak rozwiązań.

Czy to jest dobra metoda?

Po pierwsze nie wolno tak dzielić przez jakieś wyrażenie nie mając pewności czy nie jest ono czasem równe zeru.
Po drugie, po podzieleniu po lewej stronie nie wyjdzie Ci zero, tylko jeden, zatem metoda jest zła - nie dzielisz, tylko przenosisz na jedną stronę, wyciągasz przed nawias i dopiero wtedy korzystasz z tego, że to ma być równe zeru.