Nierówność z logarytmem

[zdzicho0]

Mam pokazać coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{x}{1+x} \le ln(1+x) \le x}\)

Dla wszystkich \(\displaystyle{ x>-1}\)

[norwimaj]

Zbadaj monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\ln(1+x)-x}\). W ten sposób otrzymasz drugą nierówność.

Pierwszą nierówność możesz albo otrzymać analogicznie jak drugą, albo możesz ją pomnożyć przez \(\displaystyle{ -1}\) i skorzystać z już udowodnionej drugiej.

[Browning0]

@norwimaj
A co zrobić z faktem że funkcja ta jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (-1, 0]}\) i malejąca w \(\displaystyle{ (0, \infty )}\)?

[norwimaj]

Jest malejąca nawet na \(\displaystyle{ [0,infty)}\)

To teraz wiesz, dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) ta funkcja przyjmuje największą wartość.

[Browning0]

Hmm... Coś mi tu nie pasuje z tą monotonicznością
Pokaże moje wątpliwości:

Udowodnij że \(\displaystyle{ 2-2x \ge 3-3x}\) na przedziale \(\displaystyle{ x \ge 1}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2-2x-(3-3x)}\) jest rosnąca. No i fajnie bo od większego odejmujemy mniejsze.

Udowodnij że \(\displaystyle{ 2-2x \le 3-3x}\) na przedziale \(\displaystyle{ x \le 1}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2-2x-(3-3x)}\) jest nadal rosnąca, mimo że teoretycznie powinno być na odwrót bo od mniejszego odejmujemy większe.

Czyli tak jakby monotoniczność w.cale nie miała wpływu na to czy ta nierówność jest prawdziwa czy nie...

[norwimaj]

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2-2x-(3-3x)}\) jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,1]}\), to znaczy, że

\(\displaystyle{ x<y\le1\Longrightarrow f(x)<f(y)}\).

W szczególności jeśli za \(\displaystyle{ y}\) przyjmiemy \(\displaystyle{ 1}\), to dostajemy

\(\displaystyle{ x<1\Longrightarrow f(x)<0}\),

czyli \(\displaystyle{ 2-2x<3-3x}\) dla \(\displaystyle{ x<1}\).

[Browning0]

Dobra, myślę że już rozumiem tzn. przynajmniej tę kwestię.

Ale tak w ogóle to trochę wybiegłem w przód z tymi pytaniami, bo właściwie to monotoniczność \(\displaystyle{ f(x)=\ln(x+1)-x}\) to odczytałem z wykresu. A to nie jest zadowalająca odpowiedź Sęk w tym że nie potrafię obliczyć tej monotoniczności rachunkowo...

Weźmy \(\displaystyle{ x_{1}<x_{2}}\).
\(\displaystyle{ f(x_{1})-f_(x_{2})=ln(\frac{1+x_{1}}{1+x_{2}}) - x_{1} + x_{2}}\).
Jak to dalej "zwalczyć"?

[norwimaj]

Browning0, a możesz korzystać z pochodnych?

Jaka jest definicja funkcji "logarytm naturalny"? Od tego zależy sposób rozwiązania.

[Browning0]

Tzn. tak: mogę korzystać z pochodnych. Mogę też korzystać ze wzoru Taylora i Maclaurina, który chyba tu pomoże, bo znalazłem wcześniej rozwiązanie tego zadania, tylko wcześniej go nie rozumiałem, ale od ostatniego wykładu już chyba zajarzyłem

Mianowicie, na podstawie ... 335AAhrmBd i
\(\displaystyle{ \ln(x+1)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4} \ldots}\)
No a to już łatwo widać że to jest mniejsze od x =)

No tylko ten wzór jest poprawny tylko dla \(\displaystyle{ x \in \left( -1,1 \right]}\). Zajrzałem również do notatek i tam również wyprowadzaliśmy wzór Maclaurina dla \(\displaystyle{ \ln(1+x)}\). I mimo że na początku zadania wyprowadzaliśmy dla \(\displaystyle{ x \in (-1,+ \infty )}\) to z czasem gdzieś się ten przedział zmniejszył do \(\displaystyle{ x \in \left( -1,1 \right]}\), nawet nie mogę znaleźć kiedy i dlaczego

[norwimaj]

Jeśli możesz korzystać z pochodnych i nie musisz wyprowadzać wzoru na pochodną logarytmu, to czemu nie zbadasz monotoniczności za pomocą badania znaku pochodnej?


Pytałem o definicję, bo u mnie na pierwszym roku obowiązywała definicja podobna do tej:

Logarytmem naturalnym nazywamy jedyną funkcję \(\displaystyle{ \ln:(0,\infty)\to\mathbb{R}}\) spełniającą warunki:

1. \(\displaystyle{ \ln (xy)=\ln x+\ln y}\) dla \(\displaystyle{ x,y>0}\),
2. \(\displaystyle{ \ln (1+x)\le x}\) dla \(\displaystyle{ x>-1}\).

Przy takiej definicji nie trzeba wiele wysiłku, żeby zrobić zadanie.

[Browning0]

Ach, to nie. U mnie logarytm naturalny był definiowany tylko za pomocą logarytmu przy podstawie "e".


No ale dobrze, rozwaliłem to sobie na podstawie pochodnych i monotoniczności. Rozważyłem dwa przypadki, w zależności od tego czy funkcja była rosnąca czy malejąca i w zależności od przedziału. Podobnie zrobiłem z lewą nierównością Tak tylko gwoli ścisłości: nie mieliśmy chyba na wykładzie tego twierdzenia czy uwagi że monotoniczność zależy od pochodnej. Ale chyba mogę to prosto uzasadnić tym, że pochodna w punkcje równa się tangensowi nachylenia stycznej w tym punkcie. I można "z rysunku" zobaczyć, że gdy funkcja jest rosnąca to tangens jest dodatni, jak malejąca to ujemny, zgadza się?

Super, było prostsze niż się spodziewałem, tylko ta monotoniczność trochę mi pomieszała!

Pozdrawiam i dziękuję za zaangażowanie!

[norwimaj]

nie mieliśmy chyba na wykładzie tego twierdzenia czy uwagi że monotoniczność zależy od pochodnej. Ale chyba mogę to prosto uzasadnić tym, że pochodna w punkcje równa się tangensowi nachylenia stycznej w tym punkcie.

Nie jest to takie łatwe. Chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ f(x)>f(y)}\) dla \(\displaystyle{ x>y}\). To z tangensa nachylenia stycznej w jakim punkcie to wynika? Tu trzeba albo przeprowadzić jakieś rozumowanie korzystające z aksjomatu ciągłości liczb rzeczywistych, albo powołać się na twierdzenie Lagrange'a.

I można "z rysunku" zobaczyć, że gdy funkcja jest rosnąca to tangens jest dodatni, jak malejąca to ujemny, zgadza się?

Dowód w tę stronę faktycznie jest prostszy, bo wynika z zachowania się nierówności w granicy. Ale to co napisałeś nie jest poprawne. Gdy funkcja jest rosnąca, to pochodna jest nieujemna, ale nie musi być w każdym punkcie dodatnia.

[Browning0]

@Up
Hmm, a jest możliwość żeby funkcja była rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ I=[a,b]}\) i żeby pochodna tej funkcji w jakimkolwiek punkcje \(\displaystyle{ c \in I}\) była niedodatnia? Nie licząc przypadku gdy a albo b jest ekstremum lokalnym? Bo ja generalnie wszystko wnioskowałem z tej pięknej animacji: ... e_line.gif

[norwimaj]

Standardowym przykładem jest funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto x^3}\), ale również w przytoczonej przez Ciebie animacji pojawia się taki motyw.

[Browning0]

@Up
A możesz podać konkretny przedział na którym jest rosnąca i konkretny punkt należący do tego przedziału taki, że pochodna w tym punkcie jest niedodatnia? Nieważne czy w \(\displaystyle{ x\mapsto x^3}\) czy w animacji? Bo ja jakoś tego nie widzę