Matematyka.pl

Metodą indukcjimatematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n zachodzi nierówność.

1+3+5+...+(2n-1)=n^2

Nie moge rozwiazc tego zadania ...

1. Spr. dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ L=2\cdot 1-1=1; P=1^2=1}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ 1+3+5+...+(2k-1)=k^2}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ 1+3+5... +(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2}\)
D-d:
\(\displaystyle{ 1+3+5... +(2k-1)+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2}\)
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdej dodatniej liczby naturalnej.

Mam pytanie, dlaczego w linijce :

\(\displaystyle{ 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k+1)^{2}}\) jest \(\displaystyle{ (2k + 1 )}\), a nie samo 2k ?

Ponieważ bierzesz kolejną liczbę nieparzystą po 2k-1, czyli 2k+1. Inaczej "wstawiasz" k+1 do wyrażenia 2k-1 otrzymując, że 2(k+1)-1=2k+1.