Matematyka.pl

Mam 3 zadania, które sprawiły mi problem. Proszę o jakieś doprowadzenie mnie do dobrego rozwiązania.

1) Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) naturalnych zachodzi:

\(\displaystyle{ n^{3} < n!}\)

2) \(\displaystyle{ \forall n}\) naturalnych dodatnich zachodzi

\(\displaystyle{ \sqrt{n} \cdot {2n\choose n} \le 2^{n+ \frac{1}{2} }}\)

3) Udowodnij dla \(\displaystyle{ \forall n \ge 5}\), że

\(\displaystyle{ n^{2} < 2^{n}}\)

Zadania na indukcję matematyczną. Znajdź pierwszy wyraz dla \(\displaystyle{ n \in N}\), dla którego nierówność jest prawdziwa, oznacz jako \(\displaystyle{ T _{n}}\). Musisz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ T _{n} \Rightarrow T _{n+1}}\)

Pozdrawiam

Coś z drugim, masz lipę bo nie działa dla n=2 i pewnie dla n=3 też nie działa boję się sprawdzać czy dla 4 działa-- 7 grudnia 2011, 21:48 --w pierwszym ci leci od 6 w górę nno i indukcją to pociąg zresztą sposobów jest pewnie sporo

Drugie spełnia dla \(\displaystyle{ n=1}\). Teraz indukcyjnie pokaż, że \(\displaystyle{ T _{n+1}}\) nie zachodzi.

Narazie wasze odpowiedzi to takie bardziej gdybanie niż podpowiedzi. Powiem tak, zadania da się rozwiązać na pewno, a co to indukcja to też wiem tylko jak ją zastosować tutaj to o to mi chodzi. Wierze, że dacie rade pomóc z zadaniami z pierwszej liceum

co do 1) to moge zrobić tak? :

Znajduje ze dla n > 5 ta nierówność sie zgadza i wykonuje krok indukcyjny

skoro \(\displaystyle{ (n)^{3} < n!}\)

\(\displaystyle{ 6^{3} < 6!}\)<--- zał. indukcyjne

to \(\displaystyle{ (n+1)^{3} < (n+1)!}\)

\(\displaystyle{ 7^{3} < 6! + 7! - 6!}\)

\(\displaystyle{ 6^{3} + 127 < 6! + 4320}\) Usuwam zał. indukcyjne z tezy

\(\displaystyle{ 127 < 4320}\)
C.N.U

Tak to ma wyglądać?

Mniej więcej tak, tylko nie robisz, że \(\displaystyle{ n+1=7}\), bo to ma być dla wszystkich n+1. Więc na literkach.

Drugie napisałem. Spełnia dla jedynki, sprawdzasz, czy \(\displaystyle{ T _{n} \Rightarrow T _{n+1}}\). Jeżeli nieprawda, to tylko 1 spełnia.

Trzecie typowa indukcja. Nie wiem, czego więcej chcesz oprócz 'gdybania'. Na gotowca nie licz.

no dobra 3)

\(\displaystyle{ n^{2} < 2^{n}}\) założenie indukcyjne

\(\displaystyle{ (n+1)^{2} < 2^{n+1}}\) teza

\(\displaystyle{ n^{2} + 2n + 1 < 2^{n+1}}\) wywalam zał. ind.

\(\displaystyle{ 2n + 1 < 2^{n}}\) podstawiam 5

\(\displaystyle{ 11 < 32}\)

Nie myśl se, że licze na gotowca, rzecz w tym, że jak pamiętam z lekcji akurat to zadanie to ono było rozpisywane na jakieś nawiasy z x i y do jakichs potęg i to skomplikowanie wyglądało dość, a to rozwiazując w ten sposób to straszny banał, więc albo coś ja źle pamiętam albo to jakiś lepszy dowód jest.

Ja tu nie gdybam tylko mówię że drugi przykład to lipa i nie zachodzi

Nie wiem jednak, jak to drugie rozpisać nie używając gdybania. Tego nie robi sie tak tradycyjnie przecież... bo tutaj rzecz polega na kwantyfikatorze. Nie mamy zaznaczone, że dla każdego n naturalnego dodatniego tylko, że istanieje n "takie że ...".

Szczerze powiedziawszy, to nie rozumiem Twojego zapisu kwantyfikatorów porównując zapis (2) i (3). Poza tym skoro istnieje \(\displaystyle{ n \in N}\), mianowicie \(\displaystyle{ n=1}\), to czy nie spełnia to warunku? Indukcyjnie pokażesz, że inne n nie spełniają.

Do 2) chyba powinno być: \(\displaystyle{ \exists n\in N: \sqrt{n} \cdot {2n\choose n} \le 2^{n+ \frac{1}{2} }}\)

3) Udowodnij, że \(\displaystyle{ \forall n \ge 5, n \in N: n^{2} < 2^{n}}\)

/Teraz zobaczyłem:

Założenie: \(\displaystyle{ \forall n \ge 5, n \in N: n^2 < 2^n}\)
Teza: \(\displaystyle{ (n+1)^{2} < 2^{n+1}}\)

Rozłóżmy tezę: \(\displaystyle{ P = 2^{n+1} = 2^n \cdot 2 > 2 \cdot n^{2}}\) - z założenia
Więc wystarczy pokazać, że: \(\displaystyle{ 2 \cdot n^2 > (n+1)^{2}}\)

Rozpisz mi może to drugie, albo zacznij chociaż, bo ja nie wiem jak indukcyjnie mam dowieść sprzeczności dla \(\displaystyle{ n > 1}\)

Założenie: \(\displaystyle{ T _{n}: \sqrt{n} \cdot {2n\choose n} \le 2^{n+ \frac{1}{2} }}\) - OK.
Teza: \(\displaystyle{ \sqrt{n+1} \cdot {2n+2\choose n+1} \le 2^{n+ \frac{3}{2} }}\)

Rozpisujemy tezę: \(\displaystyle{ P = 2^{n+ \frac{3}{2}} = 2 \cdot 2^{n+ \frac{1}{2}} \ge 2 \cdot \sqrt{n} \cdot {2n\choose n}}\) - z założenia.

Żeby teza była prawdziwa, prawdziwa musi być nierówność:
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sqrt{n} \cdot {2n\choose n} \ge \sqrt{n+1} \cdot {2n+2\choose n+1}}\)

Po częściowym skróceniu rozpisanych dwumianów Newtona otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} \ge \sqrt{n+1} \cdot \frac{2n+1}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n} \ge \frac{2n+1}{\sqrt{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)} \ge 2n+1}\)
\(\displaystyle{ n^2 + n \ge 4n^2 + 4n + 1}\)
\(\displaystyle{ 3n^2 + 3n + 1 \le 0}\), co nie jest prawdą na \(\displaystyle{ n \in N}\)

Zatem teza nie zachodzi.

Zachodzi taka nierówność: 267155.htm

Tartoise: nie udowadniasz w ten sposób, że nierówność nie zachodzi, co najwyżej pokazujesz, że tym sposobem nie da się jej udowodnić.

Elek112 pisze:no dobra 3)

\(\displaystyle{ n^{2} < 2^{n}}\) założenie indukcyjne

\(\displaystyle{ (n+1)^{2} < 2^{n+1}}\) teza

\(\displaystyle{ n^{2} + 2n + 1 < 2^{n+1}}\) wywalam zał. ind.

\(\displaystyle{ 2n + 1 < 2^{n}}\) podstawiam 5

Dobrze do momentu, w ktorym chcesz podstawic 5. Tak robić nie można. Korzystasz tylko założeniem indukcyjnym (prawdziwosc dla n) a nie bazą (prawdziwosc dla 5).
Zauważ że \(\displaystyle{ 2n+1<n^2}\)

To jak z tym pierwszym, jak je zrobić bez wstawiania liczb?