Matematyka.pl

Pytanie brzmi. Która liczba jest większa?
\(\displaystyle{ \sqrt[2009]{2009}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[2010]{2010}}\)
Nie wiedziałem, do jakiego działu wprowadzić ale wydaje mi się, że można byłoby to zapisać
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 2009} x^{\frac{1}{x}}}\)
Nieważne, proszę moderatorów o przeniesienie do odpowiedniego działu.

Pytanie czy można to zadanie rozwiązać w ten sposób, jak ja to zrobiłem?

\(\displaystyle{ \sqrt[2009]{2009} = 2009^{\frac{1}{2009}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[2010]{2010} = 2010^{\frac{1}{2010}}}\)

Sprawdzamy czy \(\displaystyle{ \sqrt[2009]{2009} > \sqrt[2010]{2010}}\)
\(\displaystyle{ 2009^{\frac{1}{2009}} > 2010^{\frac{1}{2010}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2009}log_{2009}{2009} > \frac{1}{2010}log_{2009}{2010}}\)

czyli wychodzi nam, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2009} > \frac{log_{2009}2010}{2010}}\)

czy można w tym momencie zauważyć, że \(\displaystyle{ log_{2009}2010}\) jest większe od \(\displaystyle{ 1}\), ale nie aż tyle, że dzielone przez \(\displaystyle{ 2010}\) mogłoby być większe od \(\displaystyle{ \frac{1}{2009}}\)?
Jak można rowiązać to zadanie?

prosciej i latwiej orzwaz funkcje \(\displaystyle{ (x^{1/x})}\) zbadaj jej pochodna i okresc dla jakiego przedzialu jest roznaca a jakiego malejaca

Proponowałbym tak:
niech k=2009 i załóżmy, że\(\displaystyle{ \sqrt[k]{k} > \sqrt[k+1]{k+1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{k}> \sqrt[k+1]{k+1}}\) obustronnie podnosimy do potęgi \(\displaystyle{ k*(k+1)}\)
\(\displaystyle{ k ^{k+1}>(k+1) ^{k}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k ^{k+1}}{(k+1) ^{k}}>1}\)
i teraz dalej kombinowac, jezeli wyjdzie prawda to załozenie było słuszne.
sorki za brak dokończenia, jestem gdzieś przy końcu ale już nie myślę widocznie.

\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n<e<3\\}\)

czyli dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\)

\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n<n\\
\left(\frac{n+1}{n}\right)^n<n\\
\frac{(n+1)^n}{n^n}<n\\
(n+1)^n<n^{n+1}\\
(n+1)^{n\cdot\frac{1}{n(n+1)}}<n^{(n+1)\cdot\frac{1}{n(n+1)}}\\
(n+1)^{\frac{1}{n+1}}<n^{\frac{1}{n}}\\
\sqrt[n+1]{n+1}<\sqrt[n]{n}\\
\\}\)

czyli

\(\displaystyle{ \sqrt[2010]{2010}<\sqrt[2009]{2009}}\)