Matematyka.pl

Proszę o pomoc, krok po kroku.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} = \left( \frac{{1-k} }{2n}\right) ^\left( 3n-2\right) }}\)
tak to wyglądało wyjściowo (n=2)

Ponieważ mamy granicę przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\), a w wyrażeniu nie występuje \(\displaystyle{ n}\), to wówczas "nie ma z czym przejść do granicy" i wówczas:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} = \left( \frac{{1-k} }{4}\right) ^4}=\left( \frac{{1-k} }{4}\right) ^4}}\)

poprawka, powinno być tak

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} = \left( \frac{{1-k} }{2n}\right) ^\left( 3n-2\right) }}\)
tak to wyglądało wyjściowo (n=2)

Podstawa potęgi zbiega do \(\displaystyle{ 0,}\) wykładnik rozbiega do \(\displaystyle{ \infty.}\) Jaka będzie granica całości?

Dasio11 pisze:Podstawa potęgi zbiega do \(\displaystyle{ 0,}\) wykładnik rozbiega do \(\displaystyle{ \infty.}\) Jaka będzie granica całości?

nie za bardzo, rozumiem co to wnosi do mojego przykładu. pewnie jest to pomocne, ale niestety tego nie widzę.

OK, rozwinę. Dostajemy symbol \(\displaystyle{ 0^{\infty},}\) który 'oznacza' granicę zero.
Warto by uzasadnić to formalnie, np. z twierdzenia o trzech ciągach.

czy mógłbyś mi to wytłumaczyć na moim przykładzie, bo nie miałem za dużo styczności z granicami ciągu(dostałem sam do opracowania, a nie bardzo ogarniam)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1-k}{2n} =0,}\) więc dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) będzie \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}<\frac{1-k}{2n}<\frac{1}{2}.}\) Spróbuj dokończyć.

\(\displaystyle{ 0 \le | \frac{(-1)^{3n-2}}{(2n)^{3n-2}} | \le \frac{1}{(2n)^{3n-2}} \le \frac{1}{2^{3n-2}}}\)

Ale:
\(\displaystyle{ 0 \rightarrow 0 \\ \frac{1}{2^{3n-2}} \rightarrow 0}\)
Więc z tw. o trzech ciągach granica naszego ciągu to 0.