Matematyka.pl

Mam problem z tym zad. bo w ogóle nie wiem, o co tu chodzi. Proszę pomóc.


\(\displaystyle{ F}\) oznacza rodzinę funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
Przez \(\displaystyle{ p(F)}\) oznaczmy pierścień generowany przez rodzinę \(\displaystyle{ F}\) , zaś przez
-----
\(\displaystyle{ P(F)}\) domknięcie rodziny \(\displaystyle{ P(F)}\) w topologi zbieżności jednostajnej (względem stosowanej przestrzeni funkcyjnej). Sprawdzic czy:
-----------
\(\displaystyle{ x\in P(\{1,x^2\})}\), gdy \(\displaystyle{ X=[0,1/2]}\).

Spróbujmy zastosować tutaj twierdzenie Stone'a-Weiestrassa, które mówi że każdy podpierścień z jedynką algebry \(\displaystyle{ C(X)}\) funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej \(\displaystyle{ X}\), który rozdziela punkty jest gęsty jednostajnie.

Rozważamy tutaj pierścień z jedynką generowany przez funkcję kwadratową (oraz \(\displaystyle{ X=[0, 1/2]}\)). Dla różnych punktów \(\displaystyle{ p,q\in [0,1/2]}\) mamy oczywiście \(\displaystyle{ p^2 \neq q^2}\), a więc mamy już oddzielanie przez sam generator. Z twierdzenia Stone'a-Weierstrassa wynika, że domknięciem rozważanego pierścienia jest cała algebra funkcji ciągłych, do której funkcja identycznościowa \(\displaystyle{ f(x) = x}\) zdecydowanie należy.