Matematyka.pl

Dowolny układ wektorów \(\displaystyle{ S( v_{1} , v_{2} ,v_{3} ..., v_{n} )}\) nazywamy układem wektorów ortogonalnych, gdy każde dwa różne wektory tego układu są ortogonalne.

Wektory v i w nazywamy ortogonalnymi (prostopadłymi) gdy ich iloraz jest równy 0:
\(\displaystyle{ (v|w )= v^{T} \cdot w=w \cdot v^{T}= \sum_{i=1}^{n} v_{i} w_{i}= 0}\)

A teraz właściwe zadanie – zbadaj czy podany układ wektorów jest ortogonalny:
\(\displaystyle{ S=( [1,2,1], [-2,2,-2], [3,1,-5]).}\)


Bardzo proszę o pomoc!!

Nie iloraz, a iloczyn skalarny.

Układ \(\displaystyle{ S}\) nie jest ortogonalny. Przecież podajesz całą potrzebną teorię. Zastosuj ją.

Zadani zostało przepisane kropka w kropk jak dostałam.
Też tak sądziłam, że nie jest bo jak transponujemy \(\displaystyle{ v_{1}}\) to nie przemnożymy przez nietransponowane \(\displaystyle{ v_{2}}\) bo liczna kolumn \(\displaystyle{ \neq}\) liczbie wieszy, ale tutaj mamy 3 wektory, więc nie wiem czy takie tłumaczenie wystarczy jako odpowiedz?

Jak nie pomnożymy, jak pomnożymy.
Zresztą jak dla mnie to polecenie jest skopane ze względu na to:

\(\displaystyle{ (v|w )= v^{T} \cdot w=w \cdot v^{T}= \sum_{i=1}^{n} v_{i} w_{i}= 0}\)

Jako, że z definicji iloczyn skalarny jest odwzorowaniem w przestrzeń liczb zespolonych, a \(\displaystyle{ v^{T} \cdot w}\) jest macierzą \(\displaystyle{ 3 \times 3}\). No i ze względu na wymiary równość \(\displaystyle{ v^{T} \cdot w=w \cdot v^{T}}\) nie może zachodzić.

Zastosuj standardową definicję ortogonalności z przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) i umieść stosowną uwagę.

miki999 pisze: Zastosuj standardową definicję ortogonalności z przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) i umieść stosowną uwagę.

Więc i ja się nie przejmowałem tymi transponowaniami. Standardowo pierwszy i trzeci wektor nie są prostopadłe i już. To transponowanie jest po to, aby iloczyn skalarny można było traktować macierzowo. Jest pewne uzasadnienie, np. przy mnożeniu macierzy mówię studentom, że należy pomnożyć skalarnie wiersz przez kolumnę. Ale na co dzień te transponowania w kontekście geometrii przestrzeni są zawracaniem głowy. Jak miki mówi, trzeba sobie ten iloczyn zdefiniować normalnie i tak liczyć. Przestrzeń w tym zadaniu jest niewątpliwie rzeczywista, nie zespolona. Tym niemniej, skoro współrzędne wszystkich wektorów są rzeczywiste, wynik jest ten sam czy w przestrzeni rzeczywistej, czy zespolonej. Nawiasem mówiąc, dziwne byłoby rozpatrywanie przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) nad ciałem liczb zespolonych. Wtedy raczej \(\displaystyle{ \mathbb{C}^3}\), czyli rzeczywistą przestrzeń sześćiowymiarową, a zespoloną trójwymiarową.

problem 1. nie znam defnicji ortogonalności dla \(\displaystyle{ R^{3}}\)
problem 2. nie możemy mnożyć skalarnie wektoró o rożnch wymiarach, więc na starcie zadanie jest niewykonalne.
dobrze myśle?

problem 1. nie znam defnicji ortogonalności dla \(\displaystyle{ R^{3}}\)

Iloczyn skalarny wektorów (ten znany z liceum) jest równy zero.

problem 2. nie możemy mnożyć skalarnie wektoró o rożnch wymiarach, więc na starcie zadanie jest niewykonalne.
dobrze myśle?

Wektory mają ten sam wymiar.

ale jak transponujemy to będziemy musieli mnożyć wektor \(\displaystyle{ 1x3}\) z \(\displaystyle{ 3x1}\) to nie ma różnicy czy wektor jest jednym wierszem lub jedną kolumną? bo jeżelitak to transpozycja tutaj nic nie zmienia? to bedzie w mnożeniu jeden i ten sam wektor, czy dobrze myślę?...

Masz skorzystać z licealnego wzoru na iloczyn skalarny wektorów. W liceum chyba nie bawiłaś się w transpozycje?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&3\\2&2&1\\1&-2&5\end{bmatrix}}\)
Tak wygląda układ \(\displaystyle{ S}\) gdzie po iloczyn skalarny \(\displaystyle{ v_{1} \cdot v_{3}=0}\)
\(\displaystyle{ v_{1} \cdot v_{2}=0}\)
ale \(\displaystyle{ v_{2} \cdot v_{3}=6}\)
czyli co 2 pary = 0 a jedna nie? zgodnie z definicją "każe dwie pary"

a jak transponuje \(\displaystyle{ S}\) \(\displaystyle{ S^{T}=\begin{bmatrix} 1&2&1\\2&-2&2\\3&1&-5\end{bmatrix}}\) odpowiednio:
\(\displaystyle{ v_{1} \cdot v_{3}=-10}\)
\(\displaystyle{ v_{1} \cdot v_{2}=-2}\)
\(\displaystyle{ v_{2} \cdot v_{3}=-4}\)
oto codziło w zadaniu?

\(\displaystyle{ [1\ 2\ 1] \circ [-2\ 2\ -2]=1 \cdot (-2)+2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2)=-2+4+1 \neq 0}\)- nie są ortogonalne
Wymnóż pozostałe.