Matematyka.pl

Wyznaczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym.

Wynik mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) , a teoretycznie powinien \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) - chyba że odpowiedzi są z błedami (biorę taką możliwość pod uwagę).

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1\cdot2+2\cdot3+\ldots+n\left( n+1\right) }{2 \left( n+1\right) ^{3} }}\)

Licznik zamieniam na sumę ciągu arytmetycznego.

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} = \frac{ \frac{2+n\left( n+1\right) }{2} \cdot n}{2 \left( n+1\right) ^{3}}= \frac{ \frac{2n+ n^{3} + n^{2} }{2} }{2 \left( n+1\right) ^{3}} = \frac{2n+ n^{3} + n^{2} }{4 \left( n+1\right) ^{3} } = \frac{2n+ n^{3} + n^{2}}{4 n^{3}+12 n^{2} +12n+4} = \frac{ n^{3} }{ n^{3} } \cdot \frac{ \frac{2}{ n^{2} } +1+ \frac{1}{n} }{4+ \frac{12}{n} + \frac{12}{ n^{2} } + \frac{4}{ n^{3} } } = \frac{1}{4}}\)

Licznik nie jest ciągiem arytmetycznym.

W liczniku nie występuje ciąg arytmetyczny. Proponuję zastosować twierdzenie Stolza.

Zastosowałem Twierdzenie Stoltza, ale wychodzi mi \(\displaystyle{ 0}\) ...
źle zastosowałem tw. czy taki wynik powinien być ? ( w odpowiedziach w książce mam \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) - ale podobno są w niej błędy czasami).-- 4 gru 2011, o 18:26 --Rozwiąże ktoś tą granicę bo ja to już wysiadam przy niej ;OOO


\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1\cdot2+2\cdot3+\ldots+n\left( n+1\right) }{2 \left( n+1\right) ^{3} }}\)

Przedstaw swoje obliczenia. Liczę w pamięci i wynik z pewnością nie jest równy 0.

ZROBIŁEM !! AHAHAH

przespałem się z tym a dzisiaj już mi to poszło ; O nie wiem gdzie wczoraj błąd robiłem ; OO
musiałem gdzieś w obliczeniach się walnąć

po wprowadzeniu tw.stoltza :
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} = \frac{ n^{2} + n}{2 \left( n+1\right) ^{3} - 2 n^{3} } = \frac{n ^{2}+n }{6 n^{2} +6n+2} = \frac{ n^{2} }{ n^{2} } \cdot \frac{1+ \frac{1}{n} }{6+ \frac{6}{n} + \frac{2}{ n^{2} } } = \frac{1}{6}}\)

zgadza się.