Matematyka.pl

W czteropiętrowym budynku do windy wsiadło 7 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że na pewnym piętrze nie wysiądzie żadna osoba?
Wskazówka: skorzystać z wzoru włączeń-wyłączeń.

Mam odpowiedz, ale nie moge do niej dojsc. Powinno wyjsc \(\displaystyle{ \frac{1997}{ 4^{7} }}\).

ok, niech \(\displaystyle{ A _{1}}\) - zdarzenie, że nikt nie wysiądzie na 1 piętrze,
analogicznie zdarzenia \(\displaystyle{ A _{2}, A _{3}, A _{4}}\)

czyli \(\displaystyle{ P\left( A _{1} \right)=...=P\left( A _{4} \right) = \left( \frac{3}{4} \right) ^{7}}\), ok?
dalej iloczyn zdarzeń np. \(\displaystyle{ A _{1} i A _{2}}\) czyli nikt nie wysiada na 1 ani na 2 pietrze, czyli wysiada na 3 lub 4: \(\displaystyle{ P\left( A _{1} \cap A _{2} \right)=\left( \frac{1}{2} \right) ^{7}}\) , zgadza sie? tak samo dla pozostalych par

dalej iloczyn 3 zdarzen np \(\displaystyle{ A _{1}, A _{2} i A _{3}}\)- czyli nikt nie wysiadl na 1,2 ani 3 pietrze, czyli wszyscy na 4, zatem \(\displaystyle{ P=\left( \frac{1}{4} \right) ^{7}}\).

no i tu mam problem, nie wiem jakie jest przeciecie wszystkich 4 zbiorow
i jak to dalej liczyc

rzoob3r pisze: no i tu mam problem, nie wiem jakie jest przeciecie wszystkich 4 zbiorow

Zbiór pusty. Jego prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ 0^7=0}\).

dobra, to z takim rozumowaniem wychodzi mi prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ \frac{499}{1024}}\)

licze to w ten sposób:

\(\displaystyle{ 4 \cdot P\left( A_{1} \right) - 6 \cdot P\left( A _{1} \cap A _{2} \right) + 4 \cdot P\left( A _{1} \cap A _{2} \cap A _{3} \right)}\).
gdzie jest blad?

Myślę że \(\displaystyle{ \frac{499}{1024}}\) to poprawny wynik. Liczba \(\displaystyle{ \frac{1997}{ 4^{7} }}\) jest ponad \(\displaystyle{ 4}\) razy mniejsza niż \(\displaystyle{ 4\cdot\left(\frac34\right)^7}\) i dlatego wydaje mi się dużo za mała.

tylko czy to nie jest za dużo? prawie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Moim zdaniem wynik jest rozsądny. Zdarzenia typu \(\displaystyle{ A_1\cap A_2}\) są mało prawdopodobne w porównaniu z \(\displaystyle{ A_1}\) (bo \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A_1\cap A_2)=\left(\frac23\right)^7\mathbb{P}(A_1)<0{,}06\cdot\mathbb{P}(A_1)}\)) i nie ma ich aż tak dużo. Zatem przybliżony wynik możemy otrzymać jeśli policzymy tak, jakby tych zdarzeń nie było. W ten sposób wychodzi \(\displaystyle{ 4\cdot\left(\frac34\right)^7\approx0{,}53}\).

moze byl blad w odpowiedziach, dzieki