kłopotliwa granica

[marecki1marek]

nie mogę rozgryżć tych granic, pomoże ktoś?

\(\displaystyle{ nsin (\pi \sqrt{ 4n^{2}+n })}\)

oraz

\(\displaystyle{ n^{2} sin^{2} (\pi \sqrt{ n^{2}+2n -5 })}\)


\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }}\)

[Matm]

Moja propozycja to
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }n \sin{\pi \sqrt{4n+n^{2}}}=\lim_{ n\to \infty }n\sin{(\pi\cdot n \sqrt{ \frac{4}{n}+1 })}=\lim_{ n\to \infty }n\sin{\pi\cdot n}=\lim_{ n\to \infty } \frac{\sin{\pi\cdot n}}{ \frac{1}{n} }= \lim_{ x \to 0} \frac{\sin{\pi \cdot \frac{1}{x} }}{x}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \\ x= \frac{1}{n}}\) Niech ktoś potwierdzi bo mogę się mylić

[marecki1marek]

pomnożymy przez nieskończonosci i podzielimy przez zero???

[BettyBoo]

Z postaci \(\displaystyle{ \pi\cdot n \sqrt{ \frac{4}{n}+1 }}\) widać, że sinus dąży do zera. Zatem wystarczy wykorzystać \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}}\).

Drugi podobnie.

Pozdrawiam.

EDIT: Właśnie zauważyłam, że inny przykład jest oryginalnie, a inny w drugim poście
Tak czy siak, chodzi o odpowiednie przesunięcie argumentu sinusa (z wykorzystaniem okresowości), aby argument dążył do zera.

[marecki1marek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \pi }}\) ?

edit, a w drugim \(\displaystyle{ \frac{1}{ \pi ^{2} }}\) ?


edit, odwrotnie ułamki

a i jeszcze jedno, czy to sinx ma dążyć do zera czy x ? bo u nas to sinx dąży do nieskończoności a nie x , prawda ?

[BettyBoo]

czy to sinx ma dążyć do zera czy x

Oczywiście, że \(\displaystyle{ x}\) - więc aż tak wprost się tego nie obliczy.

Jednak coś przegięłam z tym, że tutaj sinus musi dążyć do zera - to wcale nie jest takie oczywiste, nawet w niektórych przypadkach nieprawdziwe

Dla tej granicy, którą masz oryginalnie sprawa wygląda tak: z okresowości sinusa mamy m.in, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sin (\pi \sqrt{ 4n^{2}+n })=\sin(\pi \sqrt{ 4n^{2}+n }-2\pi n)}\)

Po uproszczeniu ze wzorów skróconego mnożenia okazuje się, że argument tego sinusa po prawej dąży do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), co załatwia sprawę.

Pozdrawiam.

[marecki1marek]

no okej ale przed całą funkcją było jeszcze n jeszcze "n"?

[BettyBoo]

No było, dlatego ostatecznie mamy \(\displaystyle{ \left[\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \infty\right]=\infty}\).

W drugim przykładzie trzeba skorzystać nie tylko z okresowości, ale i ze wzorów redukcyjnych.

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste to z okresowości sinusa \(\displaystyle{ \sin(x)=\sin(x-n\pi)}\), a jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ n-1}\) jest parzyste i z okresowości oraz ze wzorów redukcyjnych mamy \(\displaystyle{ \sin(x)=\sin(x-(n-1)\pi)=\sin(\pi+x-n\pi)=-\sin(x-n\pi)}\).

Pozdrawiam.

[marecki1marek]

mam jeszcze jedno pytanie, jeżel stała razy nieskończoność to nieskończoność to jeżeli wyjdzie mi w iloczynie zero razy n, a zero nie zależy od argumentu n , tak jak w innym temacie n*tg"pi" to mogę przyjąć ze dla każdego n będize granica równa zero czy mimo wszystko bedzie to symbol nieoznaczony?


no bo w przykładzie z n kwardrat zamiast 4n kwadrat pod pierwiastkiem n się nie skraca . . .

[BettyBoo]

Jeśli jest to liczba \(\displaystyle{ 0}\), to nie ma problemu, ponieważ iloczyn liczby \(\displaystyle{ 0}\) i dowolnej innej liczby jest równy \(\displaystyle{ 0}\). Jeśli natomiast jest to funkcja, która tylko dąży do zera oraz druga, która dąży do nieskończoności, to granica ich iloczynu realizuje symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 0\cdot\infty}\).

Pozdrawiam.

PS W przykładzie z drugiego posta granica nie istnieje. Aby to pokazać, bierzesz dwa podciągi - jeden o wyrazach parzystych, a drugi nieparzystych - robisz takie przekształcenie jak opisałam wyżej.

[marecki1marek]

czyli iloraz sinusa0, cosinusa nie pamiętam czego, tg zera i ctg nie pamiętam czego tam hehe, i ciągu zmierzającego w nieskończonośc to i tak zero?

[BettyBoo]

czyli iloraz sinusa0, cosinusa nie pamiętam czego, tg zera i ctg nie pamiętam czego tam hehe, i ciągu zmierzającego w nieskończonośc to i tak zero?

Musiałam to przeczytać kilka razy, żeby zrozumieć o co pytasz
Jeśli dobrze rozumiem, to chodzi Ci o to, czy \(\displaystyle{ \left[\frac{0}{\infty}\right]=0}\)? Bo jeśli o to pytasz, to odpowiedź brzmi: tak.

Pozdrawiam.

[marecki1marek]

miał być iloczyn ale to tak samo prawda?

widzę ze dobrze sie orientujesz to pomogła byś mi z tym 274633.htm
chodzi mi o to ze jak liczono różniczkę w punkcie 1 w jakimś zadaniu to mnozono prze 1 a nie przez (x-1) i teraz sam już nie wiem od czego to zależy

[BettyBoo]

miał być iloczyn ale to tak samo prawda?

Nieprawda Przecież dopiero co pisałam, że \(\displaystyle{ 0\cdot\infty}\) to symbol nieoznaczony...

Chyba, że to jest liczba \(\displaystyle{ 0}\), a nie tylko granica równa \(\displaystyle{ 0}\).

Pozdrawiam.

[marecki1marek]

liczba liczba