Wyznacznik macierzy antysymetrycznej jest kwadratem liczby

[nikodem92]

Udowodnij, że wyznacznik macierzy antysymetrycznej \(\displaystyle{ (a_{i,j})}\) z \(\displaystyle{ a_{i,j} \in \mathbb{Z}}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

Dla \(\displaystyle{ n=2, 3, 4}\) zgadza się, nie wiem jak to uogólnić i zapisać formalnie.

\(\displaystyle{ det(A) = \sum_{\sigma \in S_{n}}^{} sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdot a_{2,\sigma(2)} \cdot ... \cdot a_{n,\sigma(n)}}\)

Z tego, że macierz jest antysymetryczna wiadomo, że:

\(\displaystyle{ a_{i,j}=-a_{j,i}}\).

Wydaje mi się, że wyznacznik macierz antysymetrycznej podniesiony do potęgi nieparzystej będzie równy zero - tylko nie wiem jak to pokazać i nie wiem jak udowodnić, że dla parzystych będzie kwadratem liczby całkowitej.

Z góry dzięki za pomoc.

Pozdrawiam!

[marcinz]

Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną macierzy antysymetrycznej, to \(\displaystyle{ Re \lambda=0}\).

[nikodem92]

Hm, czyli jak to pokazać?

Nie za bardzo wiem, co to jest wartość własna macierzy, tzn. znam definicję, ale nie potrafię sobie tego wyobrazić...

\(\displaystyle{ Tx = \lambdax}\), \(\displaystyle{ \lambda}\) - skalar - to wartość własna, jak ją wyliczyć? Jak wyznaczyć endomorfizm \(\displaystyle{ T}\)?

Czy da się jakoś rozwiązać to zadanie nie wykorzystując liczb zespolonych?

[marcinz]

W sumie z mojego rozwiązania wyniknie tylko tyle, że wyznacznik jest zerowy albo dodatni (kwadrat pewnej liczby, ale niestety wiem tylko, że ta liczba jest rzeczywista), więc nie będę dalej sugerował Ci tej drogi. Nie mam na razie pomysłu jak zrobić to zadanie.

[nikodem92]

Ok To może ktoś inny wie jak rozwiązać to zadanie? Może jakoś indukcja i rozwinięciem Laplace'a?

[marcinz]

A może tak

[nikodem92]

\(\displaystyle{ pf(A) = \frac{1}{2^{n}*n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}} sgn(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}}\)
Skąd mamy pewność, że to będzie liczba całkowita?

[marcinz]

No moim zdaniem lepiej od razu patrzeć na tą definicję z \(\displaystyle{ A_{\alpha}}\), wtedy od razu widać, że jest całkowite. Z tym, że ciągle trzeba pokazać, że po podniesieniu do kwadratu wyjdzie wyznacznik.