Matematyka.pl

Mam następujące zadanie:

Nierelatywistyczna cząstka porusza się w prostopadłych polach \(\displaystyle{ \vec{E}}\) i \(\displaystyle{ \vec{B}}\). Prędkość początkowa cząstki jest prostopadła do \(\displaystyle{ \vec{B}}\). Oblicz \(\displaystyle{ \vec{r}(t)}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}(t)}\), jeśli w ośrodku występuje siła oporu \(\displaystyle{ \vec{F}=-\alpha\vec{v}}\), gdzie stała \(\displaystyle{ \alpha > 0}\).


Przyjąłem, że pole B jest wzdłuż osi z, a pole E wzdłuż osi y, więc:

\(\displaystyle{ \vec{F_E}=(0,qE,0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}=(\dot{x},\dot{y},0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{F_B}=q\vec{v}\times\vec{B}=(qB\dot{y},-qB\dot{x},0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{F_{op}}=(-\alpha\dot{x},-\alpha\dot{y},0)}\)

A zatem:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
m\ddot{x}=-\alpha\dot{x}+qB\dot{y} \\
m\ddot{y}=-\alpha\dot{y}-qB\dot{x}+qE
\end{array}\right.}\)

Doszedłem do powyższych równań różniczkowych i chciałem spytać, czy są one prawidłowe, a jeżeli tak, to jak wziąć się za nie?

Prawidłowe równania ułożyłeś, bardzo dobrze. Znasz metodę Eulera dla układów równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach ? Ten układ równań jest niejednorodny. Można też metodą eliminacji albo metodą z użyciem transformat Laplace'a.

Witam ponownie,
wyleciało mi z głowy, że jest tu ten temat.
Gdyby kogoś interesowało, to da się rozwiązać ten układ bez znajomości sposobów propoowanych przez joe74.
Mianowicie robimy następujące podstawienie: \(\displaystyle{ \mu=x+iy}\).
Mnożymy drugie równanie przez \(\displaystyle{ i}\) i dodajemy oba równania stronami.
Dostajemy jedno równanie różniczkowe, które łatwo rozwiązać:

\(\displaystyle{ m\ddot{\mu}=-(\alpha+iqB)\dot{\mu}+iqE}\).

Potem oczywiście:

\(\displaystyle{ x=\mathrm{Re~}\mu}\)
\(\displaystyle{ y=\mathrm{Im~}\mu}\)

Edit:
W pierwszym poście pisałam w rodzaju męskim, co może dziwić.
Bałam się w przypadku, gdybym się myliła, ale słabość, bojaźń i naiwność już opadły ze mnie