Udowadnianie tautoloigiczności funkcji m. nie wprost

[smutnomiboze]

Witam, mam problem z pewnym wnioskowaniem (z przedmiotu logika dla prawników). Udowadniamy metodą nie wprost i nie wiem, jak mam interpretować z moimi założeniami.

Mam wnioskowanie takiej postaci: Jeżeli każdy proces sądowy jest sprawiedliwy i jeśli Sokrates został skazany w procesie sądowym, to Sokrates został skazany sprawiedliwie. Jednak nieprawda, że każdy proces sądowy jest sprawiedliwy, lub nieprawda, że Sokrates został skazany w procesie sądowym. Zatem Sokrates nie został skazany sprawiedliwie.

p: Każdy proces sądowy jest sprawiedliwy.
q: Sokrates został skazany w procesie sądowym.
r: Sokrates został skazany sprawiedliwie.

\(\displaystyle{ \left\{ \left[ \left( p \wedge q\right) \Rightarrow r \right] \wedge \left( \neg p \vee \neg q\right) \right\} \Rightarrow \neg r}\)


W tym momencie udowadniamy to w ten sposób, że rysujemy strzałki od kolejnych funktorów, sprawdzając, czy nie wynikła sprzeczność. Po założeniu, że f. ma wartość \(\displaystyle{ 0}\), czyli następnik implikacji ma wartość \(\displaystyle{ 0}\) (\(\displaystyle{ r}\) ma wartość \(\displaystyle{ 1}\)), poprzednik ma wartość \(\displaystyle{ 1}\) i te elementy koniunkcji też muszą w takim razie miec wartość \(\displaystyle{ 1}\), doszedłem do momentu, gdy nie wiem, co zrobić z \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Zrobiłem więc założenia do nawiasu alternatywy łącznej z poprzednika implikacji, mianowicie: 1) \(\displaystyle{ p=1, q=0}\), 2) \(\displaystyle{ p=0, q=1}\), 3) \(\displaystyle{ p=0, q=0}\). Zastanawiam się - przy takich założeniach wszystko jest ok, funkcja nie jest tautologią. Ale gdybym przyjął zał. 4) \(\displaystyle{ p=1, q=1}\), wtedy wynikłaby mi sprzeczność przy tej alternatywie (jej wartość przybrałaby wtedy \(\displaystyle{ 0}\), a nie \(\displaystyle{ 1}\), więc funkcja okazałaby się tautologią). Czy moglby mi ktoś to wyjasnic? Jutro mam kolokwium.

[kropka+]

Wniosek: ta implikacja nie jest tautologią (jest prawdziwa albo fałszywa a gdyby była tautologią to zawsze byłaby prawdziwa).

[smutnomiboze]

Czyli nie muszę już w ogóle myśleć o ewentualności 4?


Bo zastanawiam sie, jaki jest wniosek (tu juz inny na dobra sprawe przyklad) kiedy z zalozen wynika mi w 1 przypadku sprzecznosc, a w drugim juz nie - czy moje zalozenie jest bledne, czy po prostu funkcja tautologia nie jest.


edit: Okej, nie doczytalem. Czyli przypadek 4 musze rozwiazac, wtedy wyjdzie, ze tautologią nie jest. Dzieki

[kropka+]

Tu masz przykład dowodu nie wprost. Powinieneś założyć że poprzednik implikacji jest prawdą i udowodnić, że następnik może być fałszem. Przeanalizuj to:

https://www.matematyka.pl/148845.htm

[Jan Kraszewski]

Tu masz przykład dowodu nie wprost. Powinieneś założyć że poprzednik implikacji jest prawdą i udowodnić, że następnik może być fałszem.

Względem czego miałoby by być to rozumowanie?

JK

[kropka+]

Udowodnić, że może być prawdą:

\(\displaystyle{ \left\{ \left[ \left( p \wedge q\right) \Rightarrow r \right] \wedge \left( \neg p \vee \neg q\right) \right\} \wedge r}\)

Nieprawda?

[Jan Kraszewski]

Prawda, tylko to nie jest dowód nie wprost...

JK

[kropka+]

Mój schemat myślenia jest następujący:

Polecenie: Udowodnij nie wprost, że \(\displaystyle{ L \Rightarrow P}\) nie jest tautologią. (L to poprzednik naszej implikacji, P to następnik (tak jak strona lewa L i prawa P).

1. Zakładam nie wprost, że \(\displaystyle{ L \Rightarrow P}\) jest tautologią. Z tego wynikają dwie możliwości: L jest fałszem i P jest dowolne albo L jest prawdą i P jest prawdą.
2. Znalazłam takie możliwości, że prawdą jest \(\displaystyle{ L \wedge P}\) albo \(\displaystyle{ L \wedge \neg P}\), czyli udowodniłam, że \(\displaystyle{ L \Rightarrow (P / \neg P)}\)
3. Wniosek: \(\displaystyle{ L \Rightarrow P}\) nie jest tautologią.

Gdzie tkwi błąd i jak poprawnie powinien wyglądać taki dowód?