Matematyka.pl

Witam, mam problem z zadaniem 8.21 ze zbioru "Analiza Matematyczna w Zadaniach" autorstwa W. Krysickiego i L. Włodarskiego. Zadanie wygląda tak:

\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1-i\right) ^{n-2}}}\), gdzie n jest liczbą naturalną.

Niestety mimo najszczerszych chęci nie wychodzi mi nic sensownego. Czy ktoś ma może pomysł jak to zadanie rozwiązać?

Przejdź na postać trygonometryczną.

Nie ma takiej potrzeby.
Wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1-i\right) ^{n-2}}=\left(\frac{ 1+i}{ 1-i} \right) ^{n} \cdot \left( 1-i \right) ^{2}=-2i \cdot \left( \frac{ \left( 1+i \right) ^2}{1+1} \right) ^{n}=-2i \cdot i^n=-2i^{n+1}=\\= \frac{2}{i^2} \cdot i^{n+1}=2i^{n-1}}\)