Calka powierzchniowa
: 19 lis 2011, o 22:11
Witam!
Mam problem z taką całka
\(\displaystyle{ \int \int_{S} (x^2+y^2)ds}\)
gdzie S:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} \le z \le 1}\)
Ja zrobiłem to tak
\(\displaystyle{ \int \int_{S} (x^2+y^2)ds =\int \int_{D} (x^2+y^2) \sqrt{1+ f'_{x} ^2+f'_{y}^2}dxdy}\)
Wiem że D bedzie:
\(\displaystyle{ 1=x^2+y^2}\)
stąd
\(\displaystyle{ dx=2x \\ dy=2y}\)
\(\displaystyle{ \int \int_{D} (x^2+y^2) \sqrt{1+ 4x^2 +4y^2}dxdy}\)
możemy zapisać
\(\displaystyle{ x= \o \cdot cos \alpha \\ y= \o \cdot sin \alpha}\)
stąd widać że calka zmieni się na:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1 }\int_{0}^{2 \pi } (\o ^2 \cdot cos^2 \alpha +\o ^2 \cdot sin^2 \alpha )\sqrt{1+ 4\o ^2 \cdot cos^2 \alpha +4\o ^2 \cdot sin^2 \alpha } \cdot (????)d \alpha \cdot d\o}\)
pytanie 1 tam gdzie są znaki ??? trzeba wstawić Jakobian ??
i czy ktoś mógłby rozwiązać ten przykłąd ??
Mam problem z taką całka
\(\displaystyle{ \int \int_{S} (x^2+y^2)ds}\)
gdzie S:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} \le z \le 1}\)
Ja zrobiłem to tak
\(\displaystyle{ \int \int_{S} (x^2+y^2)ds =\int \int_{D} (x^2+y^2) \sqrt{1+ f'_{x} ^2+f'_{y}^2}dxdy}\)
Wiem że D bedzie:
\(\displaystyle{ 1=x^2+y^2}\)
stąd
\(\displaystyle{ dx=2x \\ dy=2y}\)
\(\displaystyle{ \int \int_{D} (x^2+y^2) \sqrt{1+ 4x^2 +4y^2}dxdy}\)
możemy zapisać
\(\displaystyle{ x= \o \cdot cos \alpha \\ y= \o \cdot sin \alpha}\)
stąd widać że calka zmieni się na:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1 }\int_{0}^{2 \pi } (\o ^2 \cdot cos^2 \alpha +\o ^2 \cdot sin^2 \alpha )\sqrt{1+ 4\o ^2 \cdot cos^2 \alpha +4\o ^2 \cdot sin^2 \alpha } \cdot (????)d \alpha \cdot d\o}\)
pytanie 1 tam gdzie są znaki ??? trzeba wstawić Jakobian ??
i czy ktoś mógłby rozwiązać ten przykłąd ??