Matematyka.pl

Witam wszystkich! Chciałem prosić was o wstępne i proste ("wyjaśnione na chłopski rozum") obliczenia dotyczące tego zagadnienia - na podstawie wiszącej swobodnie liny...

Wszystko, co do tej pory czytałem na owy temat jest nie do końca mi zrozumiałem, a chciałbym to opanować, dlatego proszę was o pomoc.
Chodzi mi tylko o sam początek, a właściwie dojście do równania różniczkowego, z którym już dam sobie radę.

Z góry dzięki za pomoc!

A czego konkretnie nie zrozumiałeś?

Opierałem się na materiale zawartym tu:
... ncucha.pdf

1. Czy to możliwe, że na punkt \(\displaystyle{ W}\) nie działa ciężar, a zatem nie posiada on masy? - wynika to z konieczności równoważenia się siły \(\displaystyle{ F _{Py}}\) z ciężarem \(\displaystyle{ Q}\), w punkcie \(\displaystyle{ W}\) siła \(\displaystyle{ F _{Wy} = 0}\), a zatem \(\displaystyle{ Q = 0}\).
2. Dlaczego ciężar łańcucha opisano wzorem \(\displaystyle{ Q = \rho \cdot s}\)?
3. Jaki jest sens fizyczny wielkości \(\displaystyle{ a}\) we wzorze \(\displaystyle{ F _{0} = \rho \cdot a}\)?
4. Przy opisywaniu krzywej równaniem, autor odniósł się do samochodu, który będzie po niej jechał... wszystko jest ok, tylko dlaczego, położenie tego samochodu mają opisywać współrzędne \(\displaystyle{ \left( x(s) ; y(s)\right)}\) , a nie \(\displaystyle{ \left( x(t) ; y(t) \right)}\) oraz prędkość samochodu opisywać ma \(\displaystyle{ \left( x'(s) ; y'(s)\right)}\) , a nie \(\displaystyle{ \left( x'(t) ; y'(t)\right)}\) ?

Będę wdzięczny za wszelkie wyjaśnienia.

1. Punkt (jako obiekt matematyczny) jest bezwymiarowy, nie ma masy. Jeżeli kłóci Ci się to z intuicją, to zauważ, że jakikolwiek punkt zaznaczony np. ołówkiem lub długopisem na kartce ma swoje wymiary (jest bardzo małym obszarem przypominającym koło), więc możemy policzyć jego powierzchnię lub masę.
2. Bo tak jest wygodnie. Przykładowo mamy pręt o długości \(\displaystyle{ L}\) i masie \(\displaystyle{ M}\). Wprowadzamy oś współrzędnych x, jej początek pokrywać będzie się z lewym końcem pręta. I teraz chcemy wiedzieć jaki ciężar ma wycinek pręta o długości np. \(\displaystyle{ l_1}\).
\(\displaystyle{ m(l_1)=Mg\cdot \frac{l_1 }{L}=\frac{Mg}{L}\cdot l_1=\rho\cdot l_1}\)
Więc \(\displaystyle{ rho}\) jest ciężarem przypadającym na jednostkową długość, o jednostce \(\displaystyle{ \frac{N}{m}}\). Jeżeli chcesz obliczyć jaki jest ciężar dwóch metrów pręta to, \(\displaystyle{ \rho}\) pomnożysz przez dwa metry.
3. Masz podane w tekście - iloraz siły wewnętrznej \(\displaystyle{ F_0}\) przez ciężar liniowy.
4. Wygoda, w tekście wspomniano o tym.

Kolega Tomek pyta "dla czego w punkcie \(\displaystyle{ W}\)" brak jest składowej pionowej, czyli co jest powodem, że w miejscu w którym znajduje się punkt \(\displaystyle{ W}\), \(\displaystyle{ T _{Wy} =0}\) czyli nie pyta o "ciężar' punktu \(\displaystyle{ W}\) .
Odpowiedzią dla Kolegi Tomka może być takie rozumowanie:
Miejscem w którym znajduje się ów punkt jest najniższe położenie nici ciężkiej ale wiotkiej. W takiej wiotkiej nici nie występują siły działające poprzecznie do nici.
Inaczej można brak siły pionowej w tym najniższym punkcie, bo o nim jest mowa objaśnić i tak:
Rozdzielmy nić w tym punkcie. Otrzymujemy przez ten podział dwie gałęzie. Lewą i prawą Załóżmy, że lewą gałąź podtrzymuje w tym punkcie jakaś siła pionowa skierowana w górę. Punkt rozdziału liny / łańcucha o tych samych właściwościach co i lina ( witkość), ponkt \(\displaystyle{ W}\) znajduje się w spoczynku. Zatem działająca tam siła pionowa skierowana w górę musi być równoważona przez siłę z jaka działać na niego musi prawa gałąź .
Zatem siła równa co do wartości, równoległa i przeciwnie skierowana. Zatem skierowana w dół. Ale odwróćmy spoglądanie na te dwie gałęxie liny. Niech prawą gałąź podtrzymuje siła skierowana w górę i równoważy ją siła równa i równoległa z jaką działa nań lewa gałąź. Które spojrzenie jest poprawne? Co ma wyróżniać przyjęcie pierwszego za poprawne, albo drugiego? Fałszywość takiego założenia jest widoczna. Zatem uzasadnionym jest brak siły poprzecznej w tym, jak i w każdym innym punkcje wiotkiej choć ciężkiej liny. Napięcie - siła w linie, ma więc kierunek liny, zatem kierunek stycznej do linii liny w każdym jej punkcie. A w najniższym kierunek ten jest 'poziomy' , bez składowej pionowej.
Tak by to można objaśnić opowiadaniem o tym co w linie zachodzi.
W.Kr.

3. Masz podane w tekście - iloraz siły wewnętrznej \(\displaystyle{ F _{0}}\) przez ciężar liniowy.

A gdzie mniej więcej można tą długość \(\displaystyle{ a}\) zaznaczyć na rysunku?

"Długość a" o którą Kolega pyta, czyli odcinek którego miarą jest \(\displaystyle{ a}\) leży w prostej stycznej do krzywej łańcuchowej w jej najniższym punkcie.
W.Kr.

W takim razie \(\displaystyle{ s}\) musi leżeć wyłącznie w pionie, aby spełnione było:
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{s}{a} = \frac{F _{Py} }{F _{Px} }}\)

Więc czym dokładnie jest długość \(\displaystyle{ s}\)? Powinna być długością rozpatrywanego fragmentu krzywej...

Proponuję utrudnienie problemu

Mamy wiotką, rozciągliwą i jednorodną linę o długości: \(\displaystyle{ L}\)
zawieszoną w punktach: \(\displaystyle{ (x_{1} ; y_{1}), (x_{2} ; y_{2})}\)
Lina ta jest wykonana z materiału o module Younga: \(\displaystyle{ E}\)
Gęstość liniowa masy tej liny wynosi (w stanie, kiedy lina nie jest naprężona): \(\displaystyle{ \tau}\)
Pole przekroju poprzecznego liny wynosi: \(\displaystyle{ S}\).

Zadania:
• Wyznaczyć zwis liny w każdym jej punkcie ( w tym zwis maksymalny - tzw. strzałkę ).
• Wyznaczyć naciąg \(\displaystyle{ N}\) liny w każdym jej punkcie.
• Wyznaczyć wydłużenie całkowite \(\displaystyle{ \Delta L}\) tej liny.
• O ile zwis maksymalny się zmniejszy w przypadku gdyby lina nie była rozciągliwa?

Zakładamy, że lina może się rozciągać wg. Prawa Hooke'a:
\(\displaystyle{ \frac{N}{S}=E \frac{\Delta L}{L}}\)

Okazuje się, że problem można dość elegancko rozwiązać.

Tyle tylko, że nie będzie to krzywa łańcuchowa, bo z definicji (tu za Wikipedią):

"Krzywa łańcuchowa (linia łańcuchowa) – krzywa płaska opisująca kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym".
A tu taki szkic objaśniający to, że w najniższym punkcie krzywej łańcuchowej nie ma składowej pionowej.
W.Kr.