Dziedzina funkcji

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
zeks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 24 paź 2011, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice

Dziedzina funkcji

Post autor: zeks » 15 lis 2011, o 16:14

Witam. Proszę o pomoc w wyznaczeniu dziedzin funkcji:

\(\ln(x\ln(y-x))\\\\ \frac{\ln\arctan( x^{3}-2x ^{2}-x+2) }{y ^{2} +4y+12}\)

Z góry dziękuje za pomoc.

chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie

Dziedzina funkcji

Post autor: chris_f » 15 lis 2011, o 16:47

\(\frac{\ln\arctan( x^{3}-2x ^{2}-x+2) }{y ^{2} +4y+12}\)
Mianownik musi być różny od zera, ale tu jest bo delta wychodzi ujemna. To co jest pod logarytmem ma być dodatnie, czyli arcus tangens musi być dodatni, a to mamy wtedy, gdy wyrażenie pod arcusem jest dodatnie. Stąd
\(x^3-2x^2-x+2>0\)
\(x^2(x-2)-(x-2)>0\)
\((x-2)(x^2-1)>0\)
\((x-2)(x-1)(x+1)>0\)
\(x\in(-1,1)\cup(2,\infty)\)
Ostatecznie \(x\in(-1,1)\cup(2,\infty)\wedge y\in\mathbb{R}\)

\(\ln(x\ln(y-x))\) - tu mamy następujące warunki
\(y-x>0\wedge x\ln(y-x)>0\)
\(y>x\wedge\left(x>0\wedge\ln(y-x)>0\vee x<0\wedge\ln(y-x)<0\right)\)
\(y>x\wedge\left(x>0\wedge y-x>1\vee x<0\wedge y-x<1\right)\)
\(y>x\wedge(x>0\wedge y>x+1\vee x<0\wedge y<x+1)\)
Teraz to szybciutko rozrysowujemy

zeks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 24 paź 2011, o 21:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gliwice

Dziedzina funkcji

Post autor: zeks » 15 lis 2011, o 18:24

A mogę widzieć czemu
\((x>0\wedge\ln(y-x)>0\vee x<0\wedge\ln(y-x)<0\right)\\ x>0\mbox{ i } x<0\)
Ostatnio zmieniony 15 lis 2011, o 22:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Pamiętaj, że LaTeX nie widzi spacji. Możesz używać \mbox{ }.

chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie

Dziedzina funkcji

Post autor: chris_f » 15 lis 2011, o 20:40

Bo musi być spełniony warunek \(x\ln(y-x)>0\), czyli iloczyn \(x\)-a i tego logarytmu musi być dodatni. No a iloczyn jest dodatni kiedy:
...pierwsze wyrażenie dodatnie i drugie dodatnie... lub ...pierwsze ujemne i drugie ujemne...

ODPOWIEDZ