Dziedzina funkcji

[zeks]

Witam. Proszę o pomoc w wyznaczeniu dziedzin funkcji:

\(\displaystyle{ \ln(x\ln(y-x))\\\\ \frac{\ln\arctan( x^{3}-2x ^{2}-x+2) }{y ^{2} +4y+12}}\)

Z góry dziękuje za pomoc.

[chris_f]

\(\displaystyle{ \frac{\ln\arctan( x^{3}-2x ^{2}-x+2) }{y ^{2} +4y+12}}\)
Mianownik musi być różny od zera, ale tu jest bo delta wychodzi ujemna. To co jest pod logarytmem ma być dodatnie, czyli arcus tangens musi być dodatni, a to mamy wtedy, gdy wyrażenie pod arcusem jest dodatnie. Stąd
\(\displaystyle{ x^3-2x^2-x+2>0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x-2)-(x-2)>0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x^2-1)>0}\)
\(\displaystyle{ (x-2)(x-1)(x+1)>0}\)
\(\displaystyle{ x\in(-1,1)\cup(2,\infty)}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ x\in(-1,1)\cup(2,\infty)\wedge y\in\mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \ln(x\ln(y-x))}\) - tu mamy następujące warunki
\(\displaystyle{ y-x>0\wedge x\ln(y-x)>0}\)
\(\displaystyle{ y>x\wedge\left(x>0\wedge\ln(y-x)>0\vee x<0\wedge\ln(y-x)<0\right)}\)
\(\displaystyle{ y>x\wedge\left(x>0\wedge y-x>1\vee x<0\wedge y-x<1\right)}\)
\(\displaystyle{ y>x\wedge(x>0\wedge y>x+1\vee x<0\wedge y<x+1)}\)
Teraz to szybciutko rozrysowujemy

AU

4684111786a4ed95m.jpg (5.25 KiB) Przejrzano 61 razy

[/url]

[zeks]

A mogę widzieć czemu
\(\displaystyle{ (x>0\wedge\ln(y-x)>0\vee x<0\wedge\ln(y-x)<0\right)\\ x>0\mbox{ i } x<0}\)

[chris_f]

Bo musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ x\ln(y-x)>0}\), czyli iloczyn \(\displaystyle{ x}\)-a i tego logarytmu musi być dodatni. No a iloczyn jest dodatni kiedy:
...pierwsze wyrażenie dodatnie i drugie dodatnie... lub ...pierwsze ujemne i drugie ujemne...