Środkowe trójkąta. Oblicz pole trójkąta

[loki]

No i kolejny problem od kochanego sora.

Mamy dane długości 3 środkowych trójkąta S1, S2 i S3. Jak obliczyć pole trójkąta, znając tylko jego środkowe? Podobno ma z tym jakiś związek wzór Herona.

[Tomasz Rużycki]

Niech \(\displaystyle{ a_i}\) oznacza bok trójkąta dla \(\displaystyle{ i=1,2,3}\). Prosto udowodnić (np. z twierdzenia Carnota), że \(\displaystyle{ s_i = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2(a_1^2+a_2^2+a_3^3)-3a_i^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ s_i}\) to długość środkowej opuszczonej na bok \(\displaystyle{ a_i}\). Dostaniesz układ trzech równań z trzema niewiadomymi (\(\displaystyle{ a_1^2, a_2^2, a_3^2}\)). Mając boki bez problemu obliczysz pole.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki