Matematyka.pl

1. Ile istnieje liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ 100}\) podzielnych przez \(\displaystyle{ 8}\)?
a)\(\displaystyle{ 11}\) b)\(\displaystyle{ 12}\) c)\(\displaystyle{ 13}\) d)\(\displaystyle{ 14}\)

2.Pomalowano zewnętrzne ściany sześcianu. Wycięto \(\displaystyle{ 27}\) małych sześcianów. Ile z tych sześcianów ma pomalowane co najmniej dwie ściany?

3.W klasie jest \(\displaystyle{ 14}\) dziewczyn i \(\displaystyle{ 16}\) chłopców. Na ile sposobów można przedstawić dwuosobową delegację, jeżeli ma w niej być co najmniej jeden chłopiec?
a)\(\displaystyle{ 14}\) b)\(\displaystyle{ 16}\) c)\(\displaystyle{ 14 \cdot 16}\) d)\(\displaystyle{ 16 \cdot 29}\)

4.Z liczb \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\) tworzymy czterowyrazowy ciąg. Na ile sposobów można go utworzyć?

Odp ma być \(\displaystyle{ 24}\) z \(\displaystyle{ 4}\)

5.Na parkingu jest \(\displaystyle{ 15}\) miejsc. Jest \(\displaystyle{ 8}\) samochodów srebrnych i \(\displaystyle{ 10}\) oplów. Wszystkie miejsca parkingowe są zajęte. Ile jest co najmniej na tym parkingu srebrnych oplów:
a)\(\displaystyle{ 2}\) b)\(\displaystyle{ 3}\) c)\(\displaystyle{ 5}\) d)\(\displaystyle{ 7}\)

1) \(\displaystyle{ 12}\) - najprościej jest po prostu policzyć

2) \(\displaystyle{ 27-7}\) . Zauważ, że z sześcianu o boku \(\displaystyle{ a}\) zrobiły się sześcianiki o boku \(\displaystyle{ \frac{1}{3} a}\) . Objętość takiego sześcianika to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} a \cdot \frac{1}{3} a \cdot \frac{1}{3} a = \frac{1}{27} a ^{3}}\) . Gdy spojrzymy na któryś z kwadratów sześcianu o boku \(\displaystyle{ a}\) , to wiedząc że powstały sześcianiki o boku \(\displaystyle{ \frac{1}{3} a}\) stwierdzimy że powstanie na ściance \(\displaystyle{ 9}\) kwadratów o boku \(\displaystyle{ \frac{1}{3} a}\) . Środkowe kwadraty na każdej ze ścianek będą jedynymi pomalowanymi ściankami małych sześcianików (będzie tych sześcianików \(\displaystyle{ 6}\) ) i do tych sześciu dodajemy jeszcze jeden, całkowicie niezamalowany, wewnętrzny sześcianik.

3) Wybierasz jedną dziewczynę z czternastu i jednego chłopca z szesnastu -> skorzystaj z kombinacji

4) Jeżeli wszystkie cyfry mają być wykorzystane, to na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów

1. Możesz wyznaczyć wszystkie takie liczby mnożąc 8 przez kolejne liczby naturalne. Dlatego też możesz sprawdzić, które z odpowiedzi jest najbliżej 100 od dołu. Np. sprawdzasz a) tak:
\(\displaystyle{ 8 * 11 = 88}\) <- okay, poniżej 100, już teraz widać, że:
\(\displaystyle{ 8 * 12 = 96}\) <- rozwiązanie, nie można już dodać 8 nie przekraczając 100.

2. Źle zdefiniowane zadanie, nie zaznaczono, że sześcian został pocięty na 27 równych sześcianów. Jak poprawimy zadanie, to rozwiązuje się je dosyć prosto. Mianowicie wtedy musi być podział każdej ściany na 9 sześcianów, więc na każdej takiej ścianie jedynie 1 jest pomalowany tylko z jednej strony. Reszta to odejmowanie.

3. Na początku wybieramy chłopaka, możliwości jest 16. Teraz przy każdym z nich może być albo kolejny chłopak, albo dziewczyna, więc możliwości \(\displaystyle{ 14+15 = 29}\). Tak więc możliwości jest \(\displaystyle{ 16*29}\).

4. Na początku mamy wybór pierwszej cyfry, czyli 4 możliwości. Do każdej z nich możemy dobrać teraz jedną z 3 pozostałych, czyli już \(\displaystyle{ 4*3}\) możliwości. I tak do końca, wychodzi \(\displaystyle{ 4! = 4*3*2*1}\)

5. "co najmniej" - czyli wybieramy taki przypadek, w którym jest maksymalna liczba srebrnych nieoplów. Czyli wszystkie nieople są srebrne (sztuk 5). Pozostały 3 srebrne wozy, które już muszą być Oplami.-- 12 listopada 2011, 17:21 --

loitzl9006 pisze:2) (...) do tych sześciu dodajemy jeszcze jeden, całkowicie niezamalowany, wewnętrzny sześcianik.

Rzeczywiście, zapomniałem o nim.

loitzl9006 pisze:3) Wybierasz jedną dziewczynę z czternastu i jednego chłopca z szesnastu -> skorzystaj z kombinacji

Źle, nie musi być dziewczyny w delegacji.