Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f' \left( x \right) = \left( \frac{1}{x^2} \cdot \left( 1-\ln x \right) \right) '= \frac{-2}{x^3} \left( 1-\ln x \right) + \frac{1}{x^2} \cdot \left( \frac{-1}{x} \right) = \frac{1}{x^3} \left( 2\ln x-3 \right)}\)

Czy to jest ok?

jest ok

Nie widzę błędów.

A czy teraz pochodną
\(\displaystyle{ \left(x^{ \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \left( 1-\ln x \right) \right)}\)

mogę policzyć jako

\(\displaystyle{ (x^{ \frac{1}{x}})' \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \left( 1-\ln x \right) \right) + x^{ \frac{1}{x}} \cdot \left( \frac{1}{x^2} \cdot ( 1-\ln x ) \right)'}\)

jasne że możesz

\(\displaystyle{ \left(x^{ \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \left( 1-\ln x \right) \right) ' =
x^{ \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^3}(2lnx-3)+(x^{ \frac{1}{x} })' \cdot \frac{1}{x^2}(1-lnx)= \\
x^{ \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^3}(2lnx-3) + x^{ \frac{1}{x} } \cdot \frac{1}{x^2}(1-lnx)\cdot \frac{1}{x^2}(1-lnx)=\\
x^{ \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^3}(2lnx-3) +x^{ \frac{1}{x} } \cdot \left( \frac{1}{x^2}(1-lnx) \right) ^{2}= \\
x^{ \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^3} \left( 2lnx-3 + \frac{1}{x} \cdot (1-lnx)^2 \right)}\)

Więc dla x>0
f(x)' >0 dla 2lnx-3 >0

?

Ja nie widzę błędów w wyliczeniu tej pochodnej, ale dobrze by było jakby ktoś jeszcze to potwierdził.

Dziękuję bardzo!