Matematyka.pl

Witam!

Przeglądając ostatnio siec i kilka stron dotyczących zakładów bukmacherskich trafiłem na nieco informacji dotyczących rozkładu Poissona.

Przechodząc do meritum zainteresowałem się nieco tym rozkładem i trafiłem na angielską stronę, gdzie w miarę przystępnie było to opisane na przykładzie recepcjonistki w centrali.

Było to na zasadzie, że jesteśmy recepcjonistką w centrali i średnio odbieramy w ciągu godziny jeden telefon, więc parametr \(\displaystyle{ \lambda=1}\).
Interesowało nas prawdopodobieństwo, że zadzwoni w kolejnej godzinie 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 telefonów.
Po zsumowaniu prawdopodobieństw wyszło, że szansa na to, że zadzwoni mniej niż 6 telefonów jest równa 1, a prawdopodobieństwo, że zadzwoni 0 lub 1 telefonów wyniosło 0.368.

Tylko tak na dobrą sprawę w opisie nie było informacji co nam gwarantuje, że dane zjawisko jest opisane rozkładem Poissona.
Doczytałem tam o kilku warunkach tj.:
- zdarzenia niezależne od siebie
- znana wartość \(\displaystyle{ \lambda}\)
- prawdopodobieństwo więcej niż jednego sukcesu w małym przedziale czasu jest niewielkie
- prawdopodobieństwo, że sukces nastąpi w krótkim przedziale jest proporcjonalne do wielkości przedziału (prawdę mówiąc do końca nie wiem o co tutaj chodzi)


Byłbym wdzięczny, gdybyś ktoś powiedział mi co dokładnie warunkuje, że zdarzenia są opisane tym rozkładem lub ewentualnie podesłał jakieś materiały, które jednak byłyby wolne od zbyt wielu nawiązań do matematyki, z którą na razie nie będę miał styczności.

Pozdrawiam

Wydaje mi się, że bez nawiązania do matematyki się nie da. Za tym stoi ciężka teoria. To co napisałeś nie jest rewelacją, a raczej podstawowym przykładem zastosowania rozkładu Poissona. Ty chciałbyś wiedzieć jakie są ścisłe warunki na to aby Twoje dane miały rozkład Poissona. Oczywiście takie warunki nie istnieją. Jak więc sobie radzą matematycy? No więc masz jakieś \(\displaystyle{ N}\) obserwacji i stawiasz hipotezę, że mają one rozkład Poissona. Następnie metodami statystycznymi testuje się czy istnieją jakiekolwiek przesłanki by hipotezę tą odrzucić. Jeżeli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy iż dane mają rozkład Poissona to się przyjmuje że rzeczywiście go mają. Te warunki co Ty napisałeś sprzyjają sytuacji by dane miały rozkład Poissona jednak niczego tak naprawdę nie gwarantują...

Czyli kiedy tak naprawdę jest pewność czy dane zdarzenia są opisane tym rozkładem czy nie? Dla nieskończonej ilości prób?

Pytam dlatego, że przeszukując niektóre proste zadania z tego tematu pojawia się własnie pytanie czy dane zdarzenia są opisane rozkładem Poissona czy też nie, a skoro nie da się tego określić dokładnie to nie wiem jaki ma to sens.

I jeszcze pytanie co do tego parametru.
Liczba zdarzeń jako taka jest nieujemna liczbą całkowitą, ale właśnie w kontekście tej centrali autor strony pisał, że można sobie przyjąć np. \(\displaystyle{ \lambda=0.5}\), tylko jaki to ma sens, skoro wtedy tłumaczy się to jako pół telefonu w ciągu pół godziny. W sensie, że sprawdzam prawdopodobieństwo sukcesu dla 0.5 telefonu na godzinę przyjmując jako liczbę zdarzeń np. 1 i właśnie dla takiej wartości dostaję około 0.3, ale już dla \(\displaystyle{ \lambda=1}\) 0.36. Dlaczego tak jest pomimo, że w pierwszym przypadku szansa na sukces powinna być większa? Tylko właśnie trudno mówić o tym, że wystąpi pół zdarzenia czy może raczej autorowi chodziło o jedno zdarzenie, ale w dwukrotnie mniejszym czasie?

Dlaczego rozkład Poissona jest nazywany szczególnym przypadkiem rozkładu zero-jedynkowego?

Przepraszam, że to wszystko jest mocno niematematyczne, ale zajrzałem do tego z czystej ciekawości.

Nigdy na 100 % nie będziesz to wiedział, bo przecież nie weźmiesz nieskończonej próbki. O hipotezach sobie poczytaj. Weryfikacja takiej hipotezy jest najczęściej na poziomie \(\displaystyle{ >95%}\), więc całkiem dobre jest to przybliżenie.

Dziękuję za odpowiedzi w temacie.

Doczytałem sobie nieco na ten temat i mam jeszcze jedno pytanie w odniesieniu do tych procesów, które dobrze opisuje rozkład Poissona.

Angielska wikii głosi:

- The number of goals in a soccer match
- The arrival of customers in a queue.
- The number of raindrops falling within a specified area.
- The number of telephone calls arriving at a switchboard.

Jakby było w przypadku tego deszczu dajmy na to?
W sensie, że obserwujemy na jakiejś powierzchni, że średnio spada ileś tych kropel w danym czasie i możemy sprawdzić jakie jest prawdopodobieństwo, że spadnie k kropel?
Czyli przykładowo jakby spadało ich 10 na sekundę, a chcemy sprawdzić, jakie jest prawdopodobieństwo, że spadnie 5 to wyglądałoby to tak:
\(\displaystyle{ p(k)=\frac{10^{5}e ^{-10}}{5!}}\)
Dlaczego prawdopodobieństwo dla takiego samego parametru i liczby zdarzeń 10, czyli równej średniej liczbie zdarzeń, wynosi jedynie 0.125?