Matematyka.pl

Co oznacza zapis:
\(\displaystyle{ L_p^2(a,b)}\)
?

Przy okazji wielomianów ortogonalnych mi się to pojawiło i nie wiem jak to czytać. To pewno jest przestrzeń liniowa tylko nie wiem co oznacza to \(\displaystyle{ p(x)}\) i \(\displaystyle{ 2}\) (w późniejszym kontekście \(\displaystyle{ p}\) było funkcją wagową dla wielomianów ortogonalnych Czebyszewa).

Więc bierzemy funkcje całkowalne w \(\displaystyle{ [a,b]}\) oraz nieujemną całkowalną funkcję wagową \(\displaystyle{ p:[a,b]\to\mathbb{R}}\) z całką dodatnią: zakładamy, że \(\displaystyle{ \int_a^b p(x)\text{d}x>0.}\) Następnie wprowadzamy iloczyn skalarny

\(\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\cdot p(x)\text{d}x.}\)

Rodzina funkcji całkowalnych na \(\displaystyle{ [a,b]}\) z tak określonym iloczynem skalarnym stanowi przestrzeń liniową, którą wykładowca oznaczył jak piszesz.

Dwójka bierze się stąd, że przestrzeń ta "naśladuje" klasyczną przestrzeń \(\displaystyle{ L^2\bigl([a,b]\bigr)}\) (wolę ten sposób oznaczania, z przedziałem w środku), którą otrzymujemy dla funkcji wagowej \(\displaystyle{ p(x)=1}\). Jest to przestrzeń unormowana, w której norma pochodzi od iloczynu skalarnego. Mało tego, jest to przestrzeń Hilberta.

ad 1.

Dwójka pochodzi z klasycznej przestrzeni \(\displaystyle{ L^2}\) funkcji całkowalnych z kwadratem. Już to wyjaśniłem.

ad 2.

Masz rację. W konkretnych realizacjach wystarczy ciągłość i nieujemność wraz z całką dodatnią. To już implikuje własność, którą wspominasz.

ad 3.

Ta definicja normy jest poprawna.

ad 5. (bo krótkie)

Slangowo mówi się "wielomian ortogonalny". Oczywiście, jak zobaczysz poniżej, tak naprawdę wielomiany są ortogonalne względem np. całkowego iloczynu skalarnego do innych wielomianów. Powiedzenie wielomian ortogonalny stopnia \(\displaystyle{ n}\) oznacza, że jest ortogonalny do każdego wielomianu stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\). Ortonormalność ma tu drugorzędne znaczenie, wystarczy wielomian ortogonalny unormować mnożąc przez odpowiednią liczbę. Ortogonalność się oczywiście zachowuje.

ad 4.

Wielomiany ortogonalne są podstawa konstrukcji tzw. kwadratur interpolacyjnych. I tam wręcz niezbędny jest całkowy iloczyn skalarny. Świetnie opisują to podręczniki analizy numerycznej. Chodzi o coś takiego. Mamy, powiedzmy, \(\displaystyle{ n}\)-punktową kwadraturę, na razie bliżej nieokreśloną. Okazuje się, że może ona być dokładna na wielomianach stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2n-1.}\) Zawsze można skonstruować wielomian stopnia \(\displaystyle{ 2n}\), na którym kwadratura ma wartość zero, a całka jest dodatnia. Jest to \(\displaystyle{ w(x)=(x-x_1)^2\cdots(x-x_n)^2}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\) są węzłami kwadratury.

W ogóle klasyczne kwadratury projektuje się tak, żeby były dokładne na wielomianach okreslonego rzędu (wielomian rzędu \(\displaystyle{ k}\) to wielomian stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ k}\)). Więc, wobec powyższego , skonstruujemy kwadraturę w pewnym sensie optymalną, tj. \(\displaystyle{ n}\)-punktową dokładną na wielomianach rzędu \(\displaystyle{ 2n-1}\), bo wyższego rzędu nie wydusimy. NIech ma ona postać

\(\displaystyle{ \int_a^b f(x)p(x)\text{d}x\approx \sum_{k=1}^n\lambda_kf(x_k).}\)

Zakładamy dokładność kwadratury po prawej stronie powyższego wzoru na wielomianach rzędu \(\displaystyle{ 2n-1}\). Niech

\(\displaystyle{ p_n(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_n).}\)

Weźmy teraz dowolny wielomian \(\displaystyle{ q}\) rzędu \(\displaystyle{ n-1}\). Zatem iloczyn \(\displaystyle{ p_nq}\) jest wielomianem rzędu \(\displaystyle{ 2n-1}\), skąd otrzymujemy

\(\displaystyle{ \langle p_n,q\rangle=\int_a^b p_n(x)q(x)\cdot p(x)\text{d}x=\sum_{k=1}^n\lambda_kp_n(x_k)q(x_k)=0,}\)

skąd wynika, że \(\displaystyle{ p_n}\) jest wielomianem ortogonalnym stopnia \(\displaystyle{ n}\) w rodzinie wielomianów ortogonalnych na \(\displaystyle{ [a,b]}\) względem całkowego iloczynu skalarnego, jaki tu omawiamy. Wielomiany ortogonalne są wyznaczone z dokładnością do współczynnika wiodącego (przy najwyższej potędze). Wynika stąd też, że węzły \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\) są pierwiastkami wielomianu ortogonalnego stopnia \(\displaystyle{ n}\). Z teorii wielomianów ortogonalnych ich pierwiastki są pojedyncze, rzeczywiste, jednokrotne i leżą we wnętrzu przedziału \(\displaystyle{ [a,b]}\), czyli w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\).

Co teraz z wagami \(\displaystyle{ \lambda_k}\)? Okazuje się, że są one dodatnie i wyrażają się wzorami

\(\displaystyle{ \lambda_k=\int_a^b\frac{p_n(x)}{(x-x_k)p_n'(x_k)}\cdot p(x)\text{d}x.}\)

Funkcja podcałkowa (ten iloraz) jest tzw. wielomianem podstawowym Lagrange'a.

Dodatniość pokazujemy tak, że \(\displaystyle{ \lambda_k}\) jest też równe całce z kwadratu wielomianu podstawowego Lagrange'a mnożonej przez funkcję wagową.

W drugą stronę, stosując metodę dzielenia wielomianów z resztą, pokazujemy niezbyt trudno, ale dość pomysłowo, że jeśli węzły \(\displaystyle{ x_k}\) naszej kwadratury są pierwiastkami wielomianu ortogonalnego, a wagi \(\displaystyle{ \lambda_k}\) są określone jak powyżej, to tak zbudowana kwadratura rzeczywiście jest dokładna na wielomianach rzędu \(\displaystyle{ 2n-1}\). Dowód przedstawię, jeśli będzie zainteresowanie.

Skonstruowana kwadratura nazywa się kwadraturą Gaussa. Dla przedziału \(\displaystyle{ [-1,1]}\) i funkcji wagowej \(\displaystyle{ p(x)=1}\) otrzymujemy kwadraturę Gaussa-Legendre'a.

Dwupunktowa kwadratura Gaussa-Legendre'a:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^1f(x)\text{d}x\approx f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}\)

Trzypunktowa kwadratura Gaussa-Legendre'a:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^1f(x)\text{d}x\approx \frac{5}{9}f\left(-\frac{\sqrt{15}}{5}\right)+\frac{8}{9}f(0)+\frac{5}{9}f\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right).}\)

Mam nadzieję, że w dostateczny sposób nakreśliłem Ci, jak ważny jest całkowy iloczyn skalarny i jak się go stosuje. Proszę zobaczyć też https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=270811 - rozszerzoną wersję tego posta.

Cześć,

Chciałem nawiązać do bieżącego i tematu i poprosić o pomoc przy rozwiązaniu następującego problemu.
Mam problem z implementacją następującego twierdzenia:

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} wi \cdot fi = \int_{}^{} f dx = f( x{1}) \cdot (w{1}) + f( x{2}) \cdot (w{2})}\)
Czyli chciałbym, żeby wynik całki był równy wynikowi wag pomnożonych przez wartości funkcji w dwóch punktach.
Posiadam też informacje o tabeli wag:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3} }}\) i \(\displaystyle{ - \frac{1}{ \sqrt{3} }}\)
z wagami \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 1}\)

W kilku źródłach znalazłem następujące zapisy:
1)
\(\displaystyle{ f( \beta ) \cdot w1}\)\(\displaystyle{ +}\) \(\displaystyle{ f(- \beta ) \cdot w2}\)
2)
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b} f( \beta ) d \beta \approx \sum_{}^{} wi fi}\)
\(\displaystyle{ \beta}\) - wartość wagi w węźle


Chciałbym rozwiązać taki problem przykładowy na liczbach:
\(\displaystyle{ f = \frac{1}{4}( 8x - x^{2} )}\)
Zakładam, że punkty, w których całkuje to:
\(\displaystyle{ x = 1}\) i \(\displaystyle{ x= 6}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} f dx = \int_{1}^{6} \frac{1}{4}( 8x - x^{2} ) = \frac{208}{12}}\)

I teraz za pomocą wzoru \(\displaystyle{ \sum_{}^{} wi \cdot fi = \int_{}^{} f dx = f( x{1}) \cdot (w{1}) + f( x{2}) \cdot (w{2})}\)
chciałbym uzyskać taki sam wynik czyli \(\displaystyle{ \frac{208}{12}}\)

Jakkolwiek bym tego nie rozwiązywał za pomocą} tych dwóch zapisów, to nie może mi wyjść dobry wynik wspomniany już.
Proszę o pomoc, czy jest jeszcze coś o czym powinienem wiedzieć przy rozwiązywaniu takich problemów, i co robię albo gdzie myślę źle?
Bardzo dziękuje! : )