Matematyka.pl

Znaleźć wektor \(\displaystyle{ c}\) o długości pierwiastek z dwóch wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów \(\displaystyle{ a=(1,2,1)}\) oraz \(\displaystyle{ b=(2,-1,2)}\) odp: \(\displaystyle{ c=(1,0,-1)}\) lub \(\displaystyle{ c'=(-1,0,1)}\)

Określić wektor jednostkowy \(\displaystyle{ n}\), który jest prostopadły zarówno do wektora \(\displaystyle{ a=(3,8,6)}\) jak i do osi \(\displaystyle{ x}\). \(\displaystyle{ n=(0, 0.8, -0.6)}\) lub \(\displaystyle{ n'=(0, -0,8, 0.6)}\)

Mam ogromny kłopot z wektorami, nigdy ich nie rozumiałam, a mam do rozwiązania takie dwa zadania. Dla ułatwienia sprawy podałam odpowiedzi. Myślę, że nie są one zbyt skomplikowane, ale nie wiem, jak je ruszyć! Bardzo proszę o wytłumaczenie, bo już długo się z nimi męczę..

\(\displaystyle{ i,j,k}\) -wersory

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} i&j&k\\1&2&1\\2&-1&2\end{vmatrix} =5i-5k =[5,0,-5]}\) -wektor prostopadły do tych dwóch wektorów

mnożę przez niewiadomą, bo nie znamy długości wektora:
\(\displaystyle{ [5x,0,-5x]=c}\)

\(\displaystyle{ ||c||=\sqrt{25x^2 +25x^2 } =5\sqrt{2}|x|}\)

\(\displaystyle{ ||c||=\sqrt{2}}\) - z warunków zadania

porównując:
\(\displaystyle{ 5\sqrt{2}|x| =\sqrt{2}}\)

więc: \(\displaystyle{ x=\frac{1}{5} \vee x=-\frac{1}{5}}\)

czyli: \(\displaystyle{ c=[1,0,-1] vee c=[-1,0,1}\)

drugie podobnie

dziekuje
ale nadal nie rozumiem pierwszej czesci zadania. co to sa te wersory? przeciez w zadaniu mialam podane wektory. i skad obliczyles to \(\displaystyle{ 5i-5k=5,0-5}\)? wybacz, jestem taka ciemna z wektorow mozesz mi wytlumaczyc szybciutko?

\(\displaystyle{ i=[1,0,0],j=[0,1,0],k=[0,0,1]}\)

to jest metoda obliczania iloczynu wektorowego, ale możesz też znaleźć ten wektor korzystając z iloczynu skalanego

dwa wektory są prostopadłe gdy iloczyn skalarny jest równy zero

więc niech szukany wektor to: \(\displaystyle{ c=[x,y,z]}\)

\(\displaystyle{ c\circ a =0}\)

\(\displaystyle{ c\circ b=0}\)

rozwiązujesz ten układ i otrzymujesz: \(\displaystyle{ c=[t,0,-t]}\)

a dalej już tak samo

znalazlam taki wzor i teraz juz wiem, skad sie to wzielo ale dzieki za pomoc!!!!

-- 11 lis 2011, o 01:10 --

mam jeszcze jedno zadanko

Dane są wektory \(\displaystyle{ a=(1,-1), b=(4,3), c=(-10,-11)}\). Przedstawić wektor \(\displaystyle{ c}\) jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
Podać ilustrację graficzną.


Co to znaczy kombinacja liniowa? I jak podac ilustracje graficzna to tylko te wektory z danych narysowac czy cos jeszcze?

-- 11 lis 2011, o 01:22 --

a jeszcze wracajac do zad nr 2. pierwsza linijka to \(\displaystyle{ 3,6,8}\). a jaka bedzie druga? jesli jest prostopadly do osi \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) czy inaczej?

\(\displaystyle{ a=\gamma_1 b+\gamma_2 c\\
\begin{cases} 1=4\gamma_1-10\gamma_2 \\ -1=3\gamma_1-11\gamma_2 \end{cases}}\)

W zad. 2 będzie \(\displaystyle{ (1,0,0)}\)

Witam,
mógłby ktoś rozwiązać zadanie 2?
Określić wektor jednostkowy \(\displaystyle{ n}\), który jest prostopadły zarówno do wektora \(\displaystyle{ a=(3,8,6)}\) jak i do osi \(\displaystyle{ x}\). \(\displaystyle{ n=(0, 0.8, -0.6}\)) lub \(\displaystyle{ n'=(0, -0,8, 0.6)}\).

1. Obliczyłem iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ a=(3,6,8)}\) i \(\displaystyle{ b=(1,0,0)}\) i wyszło \(\displaystyle{ 8j-6k}\)
2. Obliczyłem długość wektora \(\displaystyle{ |a|= \sqrt{109}}\)

Podstawiając wychodzi wynik \(\displaystyle{ \frac{0}{ \sqrt{109} }, \frac{8}{ \sqrt{109} }, \frac{-6}{ \sqrt{109} }}\)

Dlaczego? Powinno wyjść \(\displaystyle{ n=(0, 0.8, -0.6)}\) lub \(\displaystyle{ n'=(0, -0,8, 0.6)}\)

Z góry dziękuję...

A dlaczego liczysz długość wektora \(\displaystyle{ a}\), a nie długość wektora, który wyszedł Ci z iloczynu wektorowego? Przecież to jego normujesz.

JK

Dziękuję za podpowiedź. Aktualnie długość wektora z iloczynu wektorowego wyniosła \(\displaystyle{ 10}\). Wciąż jednak nie wiem skąd wynik, \(\displaystyle{ n=(0, 0.8, -0.6)}\) lub \(\displaystyle{ n'=(0, -0,8, 0.6)}\).

a przede wszystkim skąd minusy?

x0wnedx pisze:Wciąż jednak nie wiem skąd wynik, \(\displaystyle{ n=(0, 0.8, -0.6)}\) lub \(\displaystyle{ n'=(0, -0,8, 0.6)}\).

Bo normujesz wektor \(\displaystyle{ (0,8,-6)}\) skalując go przez jego długość, skąd dostajesz pierwszy z powyższych wektorów. Potem zauważasz, że wektor do niego przeciwny też spełnia warunki zadania.

JK