Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących przykładów:
1. \(\displaystyle{ \mbox{grad}(q+1)}\)
2. \(\displaystyle{ \mbox{div}(\mbox{rot } w)}\)
3. \(\displaystyle{ \mbox{rot } \mbox{grad } q}\)

\(\displaystyle{ q}\) - skalar, \(\displaystyle{ w}\) - wektor

Bardzo proszę o szybką pomoc, ponieważ jest mi to bardzo potrzebne. Z góry dzięki za pomoc.-- 12 lis 2011, o 18:02 --Pomoże ktoś??

zadanie 1

\(\displaystyle{ grad\left( q+1\right) = \left[\frac{ \partial \left( q + 1\right) }{ \partial x}; \ \frac{ \partial \left( q + 1\right) }{ \partial y}; \ \frac{ \partial \left( q + 1\right) }{ \partial z}\right] = \left[\frac{ \partial q }{ \partial x}; \ \frac{ \partial q}{ \partial y}; \ \frac{ \partial q }{ \partial z}\right]}\)


zadanie 2

\(\displaystyle{ \vec{w} = \left[ w _{x}; \ w _{y}; \ w _{z}\right]}\)

\(\displaystyle{ rot \vec{w} = \vec{u} = \left[ u _{x}; \ u _{y}; \ u _{z}\right] = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial }{ \partial x} & \frac{ \partial }{ \partial y} & \frac{ \partial }{ \partial x} \\w _{x}&w _{y}&w _{z}\end{array}\right| = \left[\frac{\partial w _{z}}{\partial y} - \frac{\partial w _{y}}{\partial z}; \ - \left( \frac{\partial w _{z}}{\partial x} - \frac{\partial w _{x}}{\partial z}\right) ; \ \frac{\partial w _{y}}{\partial x} - \frac{\partial w _{x}}{\partial y}\right]}\)

\(\displaystyle{ div \ rot \vec{w} = div \vec{u} = \frac{\partial u _{x} \left( x,y,z\right) }{ \partial x} + \frac{\partial u _{y}\left( x,y,z\right)}{\partial y} + \frac{\partial u _{z}\left( x,y,z\right)}{\partial z}}\)

\(\displaystyle{ div \ rot \vec{w} = div \vec{u} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial w _{z}}{\partial y} - \frac{\partial w _{y}}{\partial z} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left[ - \left( \frac{\partial w _{z}}{\partial x} - \frac{\partial w _{x}}{\partial z}\right)\right] + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial w _{y}}{\partial x} - \frac{\partial w _{x}}{\partial y} \right)}\)


zadanie 3

Analogicznie, w oparciu o zadanie 1 oraz zadanie 2, bo gradient funkcji skalarnej q(x,y,z) jest wektorem, a rotacja z wektora liczona była w zadaniu 2.

dzięki wielkie