Matematyka.pl

Który z wzorów na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny :

1) r = ab/(a + b + c)

2) r = (a + b - c)/2

jest prawidłowy?

a, b - przyprostokątne
c - przeciwprostokątna

Pierwszy znalazłem w tablicach matematycznych, drugi w pewnym zbiorze zadań.

Sprawdziłem i dla tych samych wartości a b i c promień w każdym ze wzorów przyjmuje inną długość; stąd moje pytanie, który jest poprawny.

Oba są dobre
Tylko ze a i b muszą być długosciami przyprostokątnych trójkąta a c to przeciwprostokątna ..

Te wzory są szczególnymi przypadkami tych wzorów :
r=P/p gdzie P to pole czyli 1/2ah a p to połowa obwodu
r=(p-c)tg(A/2) gdzie p to połowa obwodu , c bok na przeciw kata A

mozna obliczyc roznice tych dwoch wyrazen:
ab/(a + b + c) - (a + b - c)/2 = 2ab/2(a + b + c) - (a + b - c)(a + b + c)/2(a + b + c) =
= [2ab - a2 - ab + ac - ab - b2 + bc - ac - bc + c2]/2(a + b + c) = [-a2 - b2 + c2]/2(a + b + c) =
= [c2 - (a2 + b2)]/2(a + b + c)
a skoro c2 = a2 + b2 to licznik, wiec i rowniez cale wyrazenie jest rowne 0, czyli wzory musza dawac ten sam wynik

Co nie umniejsza faktu ze a,b muszą być przyprostokątnymi chyba, że
r = ((a + b - c)/2)*tg(C/2) gdzie c kat na przeciw kata C

oczywiscie, chcialam tylko przekonac /inaczej/ the_moon'a, ze gdzies musial sie pomylic, gdy sprawdzal wzory, skoro mu nie wyszlo

Dziękuję i pozdrawiam.