Matematyka.pl

Udowodnij, że dystrybuanta miary \(\displaystyle{ \forall_{A \in B} \mu =\mu_{1}(A)+\mu_{2}(A)}\)( gdzie \(\displaystyle{ B}\) - miara borelowska na prostej, która jest skończona na przedziałach właściwych) jest sumą dystrybuant czyli \(\displaystyle{ F_{\mu}=F_{\mu_{1}}+F_{\mu_{2}}}\). Podobnie dla\(\displaystyle{ \mu=C \cdot \mu_{1}}\) (gdzie \(\displaystyle{ C}\) stała dodatnia) jest równa \(\displaystyle{ F_{\mu}=C \cdot F_{\mu_{1}}}\)


def. na wykładzie :

\(\displaystyle{ F_{\mu}(t)= \begin{cases} \mu([0,t])\mbox{ gdzie } t \ge 0\\ -\mu((0,t))\mbox{ gdzie } t<0 \end{cases}}\)

Rozpatrz dwa przypadki do każdego z podpunktów, np. dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) mamy, że
\(\displaystyle{ F _{\mu}(t)=\mu([0,t])=\mu_{1}([0,t])+\mu_{2}([0,t])=F _{\mu_{1}}(t)+F _{\mu_{2}}(t)}\).
Hm, poza tym \(\displaystyle{ B}\) jest sigma ciałem zbiorów borelowskich, a nie miarą.

ok właśnie tak zrobiłam ...